Top Adult Songs | Orphan Black | Suivant →

Creative Commons License Deed


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Creative Commons License Deed"

Transcripción

1

2

3 Creative Commons Liense Dee Reoneixement-No omerial-sense obres erivaes 3. Espanya Vostè és lliure e: Copiar, istribuir i omuniar públiament l obra. Sota els següents oniionants: Reoneixement. S ha e refereniar aquesta obra a Joan Claui Sooró, José Antonio Morán i Rosa María Alsina - Enginyeria La Salle (Semipresenial) No omerial. No es pot utilitzar aquesta obra per a finalitats omerials. Sense obres erivaes. No es pot alterar, transformar o generar una obra erivaa a partir aquesta. Quan reutilitzeu o istribuïu l'obra, heu e eixar ben lar els termes e la lliènia e l'obra. Alguna 'aquestes oniions pot no apliar-se si obteniu el permís el titular els rets 'autor. No hi ha res en aquesta lliènia que menysabi o restringeixi els rets morals e l'autor. Els rets erivats 'usos legítims o altres limitaions reonegues per llei no queen afetats per l'anterior Això és un resum fàilment llegible el text legal (la lliènia ompleta) isponible en els iiomes següents: Català Castellà Bas Galle

4 Crèits Autor: Joan Claui Sooró, José Antonio Morán i Rosa María Alsina Eitor: Lluís Vient Coorinaió lingüístia: Sara Laso Revisió lingüístia: Christian Lara Maquetaió: Vítor Miras Disseny e portaa: Vítor Miras Aquesta eiió ha omptat amb el suport e l Agènia e Gestió Ajuts Universitaris i e Reera (AGAUR) e la Generalitat e Catalunya en la Convoatòria ajuts a l eiió i la ifusió e llibres e text o manuals universitaris i llibres ientifiotènis, en suport paper o en suport eletròni, esrits en llengua atalana (DLL 9) SBN:

5 Ínex Pròleg... 5 SESSÓ : Coifiaió e font Coifiaió e font Tèniques e oifiaió e fonts isretes... 7 Problema... 7 Problema... Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Tèniques e oifiaió e fonts analògiques... 6 Problema... 6 Problema... 3 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema SESSÓ : Coifiaió e anal Coifiaió e anal Cois lineals e blo... 5 Problema... 5 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Cois ílis Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema

6 .3 Cois onvoluionals Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Entrellaçat... 4 Problema Problema Sessió 3: Moulaions avançaes Moulaions avançaes... 9 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema SESSÓ 4: Carateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió Carateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema

7 Problema Problema 4... Problema Problema Problema Problema Problema Problema Bibliografia

8 4

9 Pròleg Aquesta guia e problemes és un omplement molt aequat a la guia 'estuis publiaa prèviament [Sooro8], i s'emmara om a material iàti per a l'assignatura e Sistemes e transmissió 'Enginyeria e Teleomuniaions i per a l'assignatura e Proessat el senyal per teleomuniaions el Màster Universitari en Enginyeria e xarxes i teleomuniaions 'Enginyeria i Arquitetura La Salle (Universitat Ramon Llull). a estat elaboraa a partir el material iàti preparat pels professors que han impartit o imparteixen en l'atualitat aquestes assignatures urant els ursos el períoe -9. i trobareu, ins aquesta guia, problemes resolts sobre les iferents temàtiques i tèniques trataes al llarg el urs, així om alguns problemes resolts que estaven proposats en la guia 'estui e l'assignatura [Sooro8]. A aquest efete, la esripió els problemes resolts i proposats en aquesta guia 'estui està onvenientment enriquia amb la referènia e la guia original en el amp e l'enuniat e aa problema. És un omplement que permetrà preparar l'estuiant per tal que assoleixi el nivell e oneixements aient per a l'assimilaió els oneptes estuiats urant el.urs e l'assignatura. Aquesta guia e problemes està estruturaa en quatre sessions, una per aasun els quatre apítols prinipals el urs: Coifiaió e font; Coifiaió e anal; Moulaions avançaes; Carateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió. 5

10 6

11 SESSÓ : Coifiaió e font FTXA DE LA SESSÓ Nom: Coifiaió e font Tipus: problemes Format: no presenial Duraa: hores Treball a lliurar: no Material: o Bibliografia bàsia: [Slar] [Proais] [Sooro8] OBJECTUS En aquesta sessió es proposa una ol leió e problemes resolts sobre el tema e la oifiaió e font. CONTNGUTS A ontinuaió es mostren els problemes sobre oifiaió e font. En els asos en què un problema estigui assoiat a la guia estui e l assignatura, s inia just abans e l enuniat amb la referènia orresponent en la mateixa guia.. Coifiaió e font. Tèniques e oifiaió e fonts isretes Problema.. Donaa una font informaió esrita pel següent moel probabilísti (proés Marovià orre ): - P( ) P( ).. - P( ).5. - P( ).5. En què P(x/y) inia la probabilitat e transmetre el símbol x immeiatament esprés haver transmès el símbol y. a) Determineu la probabilitat absoluta e transmetre un símbol i la probabilitat absoluta e transmetre un símbol. b) Caluleu l entropia e la font, suposant que aquesta és una font sense memòria. 7

12 ) Caluleu l entropia e la font (amb memòria). Soluió a) Per ur a terme el àlul e les probabilitats els os els símbols que formen el alfabet e la font isreta a partir e les seves probabilitats oniionaes, tinrem en ompte el Teorema e la Probabilitat Total, atès que només hi ha epenènies el símbol atual amb l anterior: P n ( b) P( b, a i) P( b a i) P( a i) i n i En què n és el número e símbols e l alfabet finit e la font. Les equaions que obtinríem serien les següents: P P( ( ) P( ) P( ) P( ) P( ) ) P( ) P( ) P( ) P( ) Substituint pels valors aients, el sistema equaions quearia e la següent manera: P( ). 98 P( ). 5 P( ) P( ). P( ). 5 P( ) Reorant que la suma e probabilitats e tots els símbols ha e ser igual a, P P, la resoluió el sistema passaria per: ( ) ( ) P ( ). 98 P( ). 5 P( ). P( ). 5 P( ) P( ) P( ) 3. ( P() ). 5 P() P() Les probabilitats 'apariió que obtenim, és a ir, les probabilitats absolutes e tenir els símbols i són: ( ) P P() b) Calulem ara l entropia e la font sense memòria. Cal esmentar que tratem amb una font informaió amb memòria ja que els símbols que pot transmetre no es generen e forma inepenent. 8

13 L entropia una font sense memòria es efineix om la mitjana informaió que hi ha en tots els símbols e la font; és a ir: n ( X ) Pi ( Xi) i En què: n és el número e símbols iferents que la font pot transmetre; P i és la probabilitat apariió el símbol i; (X i ) és la informaió pròpia el símbol i; aquesta informaió ens óna el número e bits que hauríem e fer servir per oifiar el símbol; es alula e la següent manera: ( Xi) log ( Pi ) D aquesta forma, el àlul e l entropia e la font es reueix a: n ( X ) Pi ( Xi) i n i Pi log ( Pi) Partiularitzant en el nostre as, l'entropia e la font seria: ( X ) Pi (X i) Pi log (P i) i [ P log ( P) P log ( P) ] P log P P log P i [ ( ) ( ) () ()] En aquest as, substituint pels valors e P() i P() alulats: ( X ) [. 96 log (. 96). 38 log (. 38) ] [. 96 ln(. 96). 38 ln(. 38) ]/ ln(.3593 bits/símbol ) Per tant, el límit mínim teòri en què poem arribar a omprimir sense pèrues serà.35 bits per símbol. ) Per últim, alularem l entropia e la font amb memòria. Aquesta serà l entropia real e la font ja que, om hem it abans, els símbols que pot transmetre aquesta no es generen e forma inepenent. Per ur a terme el àlul e l entropia, apliarem la fórmula assoiaa a una font amb memòria: 9

14 en què: ( X ) ( ) Amb memòria n i X X i Pi n és el número e símbols e la font P i és la probabilitat apariió el símbol X i (X X i ) és l entropia el nou símbol oniionaa a la transmissió el símbol anterior X i, que es pot expressar segons: n n ( X X ) P( X j Xi ) ( X j Xi ) P( X j Xi ) i log P X j Xi j j Partiularitzant en el nostre as, l'entropia e la font seria: en què: ( X ) ( X X ) Pi ( X ) P( ) ( X ) P( ) i i ( X ) [ P( ) log P( ) P( ) log P( ) ] [ P( ) ln P( ) P( ) ln P( ) ]/ ln( [. 98ln(. 98). ln(. ) ]/ ln( ) bits/símbol ( X ) [ P( ) log P( ) P( ) log P( ) ] [ P( ) ln P( ) P( ) ln P( ) ]/ ln( [.5ln(. 5). 5ln(. 5) ]/ ln( ) bit/símbol Finalment obtenim el valor entropia e la font: ) ) ( X ) ( X X ) Pi ( X ) P( ) ( X ) P( ) i i bits/símbol Per tant, el límit mínim teòri en què poem arribar a omprimir sense pèrues serà.74 bits per símbol. Respete e la font sense memòria, poem veure om l entropia e la font (amb memòria) és menor que aquesta. Això sueeix perquè, per a una mateixa probabilitat

15 apariió e símbols, la memòria una font ens reueix la informaió, és a ir, l entropia i, per tant, també el número e bits neessaris per a la oifiaió. Problema.. Consiereu una font isreta binària que genera símbols i e forma inepenent i amb probabilitats p i (-p) respetivament. Caluleu l entropia e la font isreta si p.. Soluió En aquest as, la font isreta és binària i pot generar os símbols o valors: i. La probabilitat apariió aquests símbols és: P p ( ) P () p Per altra bana, l entropia una font sense memòria amb un alfabet e n símbols es efineix om la mitjana informaió que hi ha en tots els símbols e la font; és a ir: en què: n ( X ) i P ( i Xi n és el número e símbols iferents que la font pot transmetre P i és la probabilitat apariió el símbol X i (X i ) és la informaió pròpia el símbol i; aquesta informaió ens óna el número e bits que hauríem e fer servir per oifiar el símbol; es alula e la següent manera: ) ( Xi) log ( Pi ) D aquesta manera, el àlul e l entropia e la font es reueix a: n ( X ) Pi ( Xi) i n i Pi log Partiularitzant en el nostre as, l'entropia e la font seria: ( Pi)

16 ( X ) Pi (X i) Pi log i i (P i) [ P log ( P) P log ( P) ] [ P( ) log P( ) P() log P() ] [ p log p ( p) log ( p) ] En aquest as, substituint pel valor p., obtenim la següent entropia e la font isreta: ( X ) [. log (. ). 9 log (. 9) ] [. ln(. ). 9 ln(. 9) ]/ ln( bits/símbol ) Per tant, el límit mínim teòri en què poem arribar a omprimir sense pèrues serà.468 bits per símbol. Problema..3 Consiereu una font isreta amb memòria efinia per un moel e Marov e primer orre. La font està efinia ompletament per les probabilitats e transiió entre estats P( ).5 i P( ).45. Caluleu l entropia e la font amb memòria i ompareu el resultat amb el obtingut al problema anterior. Soluió En aquest as, tratem amb una font isreta amb memòria tenint en ompte que els símbols que pot transmetre la font no es generen e forma inepenent en el temps. Ens onen ues probabilitats apariió e les quatre existents; aquestes són: P P ( ). 5 ( ). 45 Primerament, la nostra tasa serà obtenir les altres ues probabilitats; ho faríem e la següent manera:

17 P P ( ) P( ) P( ) ( ) P( ) P( ). P. 5 P 45 ( ). 95 ( ). 55 Una vegaa onegues aasuna e les probabilitats oniionaes, alulem les probabilitats apariió els os símbols que formen l alfabet e la nostra font. Per ur a terme aquest àlul, tinrem en ompte el Teorema e la Probabilitat Total: P n ( b) P( b a i) P( a i) i Les equaions que obtinríem serien les següents, tenint en ompte les possibles transiions es e aa estat: P P ( ) P( ) P( ) P( ) P( ) () P( ) P( ) P( ) P() Substituint pels valors aients, el sistema equaions quearia e la següent forma: P P Reorant que P ( ) P ( ) P ( ). 95 P( ). 45 P( ) (). 5 P( ). 55 P(), la resoluió el sistema passaria per: ( ). 95 P( ). 45 P( ). 5 P( ). 45 P( ) P( ) P( ). 5 ( P() ). 45 P() P(). Les probabilitats 'apariió que obtenim són, per tant: P P ( ). (). 9 Calulem ara l entropia una font amb memòria apliant la fórmula assoiaa: n Amb memòria i ( X ) ( X X i ) Pi 3

18 en què: n és el número e unitats e memòria e la font P i és la probabilitat apariió el símbol X i (X X i ) és l entropia e la font oniionaa a l apariió el símbol X i, que es pot alular om: n n ( X Xi ) P( X j Xi ) ( X j Xi ) P( X j Xi ) logp( X j Xi ) j j Partiularitzant en el nostre as, l'entropia e la font seria: ( X ) ( X X ) Pi ( X ) P ( X ) P i i en què: ( X ) [ P( ) log P( ) P( ) log P( )] [ P( ) ln P( ) P( ) ln( )]/ ln( [. 95 ln(. 95). 5 ln(. 5) ]/ ln( ) bits/símbo l ) ( X ) [ P( ) log ( ) P( ) log ( )] [ P( ) ln P( ) P( ) ln P( )]/ [. 45 ln(. 45). 55 ln(. 55) ]/ ln bits/símbo l ln( ) ( ) Finalment obtenim el valor entropia e la font: ( X ) ( X ) P( ) ( X ) P( ) bits/símbol Per tant, el límit mínim teòri en què poem arribar a omprimir sense pèrues serà.357 bits per símbol. Respete e la font e l exerii anterior, poem veure om el valor e l entropia s ha reuït en aquest as e la font amb memòria. Això sueeix perquè, per a una mateixa probabilitat apariió e símbols, la memòria una font ens reueix la informaió, és a ir, l entropia i, per tant, també el número e bits neessaris per a la oifiaió. 4

19 Problema..4 (PRO..5.5 Problema e àlul entropia) Una font isreta genera tres símbols inepenents A, B i C amb probabilitats.9,.8, i., respetivament. Determina l entropia e la font. Soluió Una font isreta té un alfabet entraa. Aquest està format per n possibles valors i és el onjunt informaió que la font pot transmetre. En aquest as, la font isreta pot generar tres símbols o valors: A, B i C. La probabilitat apariió aquests símbols és: P P P ( A ). 9 ( B ). 8 ( C ). Per altra bana, l entropia una font sense memòria es efineix om la mitjana informaió que hi ha en tots els símbols e la font; és a ir: en què: n ( X ) Pi ( Xi) i n és el número e símbols iferents que la font pot transmetre P i és la probabilitat apariió el símbol X i (X i ) és la informaió pròpia el símbol X i. Aquesta informaió ens óna el número e bits que hauríem e fer servir per oifiar el símbol. Es alula e la següent manera: ( Xi) log ( P ) i D aquesta forma, el àlul e l entropia e la font es reueix a: n ( X ) Pi ( X ) Pi log ( P ) i i n i i Partiularitzant en el nostre as, l'entropia e la font seria: 5

20 3 ( X ) Pi ( X ) Pi log ( P ) i i [ P log ( P ) P log ( P ) P3 log ( P3 )] [ P( A) log ( P( A) ) P( B) log ( P( A) ) P( C) log ( P( C) )] [ P( A) ln( P( A) ) P( B) ln( P( A) ) P( C) ln( P( C) )]/ ln( ) [. 9 ln ln. 8. ln. ] / ln.5488 bits/simbol 3 i Per tant, el límit mínim teòri en què poem arribar a omprimir sense pèrues serà.54 bits per símbol. i Problema..5 (PRO..5.6 Problema e oifiaió e font isreta) Una font isreta genera os símbols possibles A i B amb probabilitats oniionaes: P P P P ( A A).8 ( A B).6 ( B A). ( B B). 4 entenent que P(X/Y) és la probabilitat e transmetre X esprés haver transmès Y. a) Determina les probabilitats els símbols A i B b) Determina l entropia e la font. ) Determina l entropia e la font si els símbols són inepenents amb igual probabilitat. Soluió a) Per ur a terme el àlul e les probabilitats els símbols A i B a partir e les seves probabilitats oniionaes, tinrem en ompte el Teorema e la Probabilitat Total: P n ( b) P( b a i) P( a i) i Les equaions que obtinríem serien les següents: 6

21 P P ( A) P( A A) P( A) P( A B ) P( B) ( B) P( B A) P( A) P( B B ) P( B) Substituint pels valors aients, el sistema equaions quearia e la següent forma: P P Reorant que P ( A) P ( B ) P ( A). 8 P( A). 6 P( B) ( B). P( A). 4 P( B), la resoluió el sistema passaria per: ( A). 8 P( A). 6 P( B). P( A). 6 P( B) P( A) P( B). ( P( B) ). 6 P( B) P( B). 5 Les probabilitats 'apariió que obtenim, és a ir, les probabilitats els símbols A i B són: P P ( A). 75 ( B). 5 b) Calulem ara l entropia e la font isreta. Com aquesta no genera els seus símbols e forma inepenent, apliarem la fórmula assoiaa a les fonts isretes amb memòria per a la resoluió: n ( X ) ( X X i ) Pi en què: n és el número e unitats e memòria e la font P i és la probabilitat apariió el símbol X i (X X i ) és l entropia e la font oniionaa a l apariió el símbol X i i n n ( X Xi ) P( X j Xi ) ( X j Xi ) P( X j Xi ) logp( X j Xi ) j j Partiularitzant en el nostre as, l'entropia e la font seria: en què: ( X ) ( X X ) P ( X A) P( A) ( X B) P( B) i i i 7

22 ( X A) [ P( A A) log P( A A) P( B A) log P( B A) ] [ P( A A) ln P( A A) P( B A) ln P( B A) ]/ ln( [. 8 ln. 8. ln. ] / ln( ).798 bits/simbol ( X B) [ P( A B) log P( A B) P( B B) log P( B B) ] [ P( A B) ln P( A B) P( B B) ln P( B B) ]/ ln( [. 6 ln ln. 4] / ln( ).9795 bits/simbol ) ) Finalment obtenim el valor entropia e la font: ( X ) ( X A) P( A) ( X B) P( B) bits/simbol Per tant, el límit mínim teòri en què poem arribar a omprimir sense pèrues serà.784 bits per símbol. ) Tot seguit, alularem l entropia e la font si els símbols fossin generats e forma inepenent i amb igual probabilitat apariió. És a ir: P P ( A). 5 ( B). 5 L entropia una font sense memòria es efineix om la mitjana informaió que hi ha en tots els símbols e la font; és a ir: n ( X ) Pi ( Xi) i en què: n és el número e símbols iferents que la font pot transmetre P i és la probabilitat apariió el símbol X i (X i ) és la informaió pròpia el símbol X i. Aquesta informaió ens óna el número e bits que hauríem e fer servir per oifiar el símbol; es alula e la següent manera: ( ) log ( ) X i P i D aquesta forma, el àlul e l entropia e la font es reueix a: 8

23 n ( X ) Pi ( Xi) Pi log ( Pi) i n i Partiularitzant en el nostre as, l'entropia e la font seria: ( X ) Pi ( Xi) Pi log ( Pi) i i [ P( A) log P( A) P( B) log P( B) ] [ P( A) ln P( A) P( B) ln P( B) ]/ ln [. 5 ln ln. 5] / ln bits/simbol Per tant, el límit mínim teòri en què poem arribar a omprimir sense pèrues serà bit per símbol. Obtenim una entropia e bit per símbol perquè el sistema onté molta informaió: esprés e aa transmissió e símbol, hi ha un 5% e possibilitats e que el proper símbol a transmetre sigui iferent e l anterior. Aquest fet suposa un màxim entropia, és a ir, un mínim e apaitat e ompressió. Problema..6 (PRO..5.8 Problema isseny un oi e uffman) Dissenya un oi binari e uffman, per a una font isreta e tres símbols inepenents A, B i C amb probabilitats,9,8 i, respetivament. Determina la longitu mitja el oi. Soluió Realitzem el isseny: P(A).9 P(B).8 P(C).. Símbol Coi A B C Longitu mitja el oi N p N i i bits/símbol. i 9

24 Com poem apreiar, el núm. e bits per símbol e mitjana és menor que que seria la longitu en una oifiaió amb igual número e bits per símbol usant els mínims bits possibles ( bits per a oifiar 3 possibilitats). Com veiem, les probabilitats els símbols no són potènies e, per tant, segur que aquesta taxa e bits e sortia és major que l entropia e la font. Una forma aproximar-nos a la seva entropia seria oifiar blos e M símbols onseutius. Problema..7 Donaa una font isreta sense memòria amb símbols { s, s, s 3, s 4 } probabilitats ourrènia P { p p, p, p } {.5,.5,.5,.5}., 3 4 a) Calula l entropia e la font. Comenta n el signifiat. b) Dissenya un oi e uffman aaptat a la font. ) Fins a quin punt el oi issenyat és òptim? S i Soluió a) L entropia una font sense memòria es alula a partir e les probabilitats els símbols: 4 i ( ) (.5 log (.5).5 log (.5).5 log (.5).5 log (.5) ). 75 p i log p i Una entropia e.75 bits/símbol signifia que el mínim núm. e bits neessaris per a oifiar aquesta font és e.75, e mitjana, per a aa símbol (o, en nombres enters, 7 bits per aa 4 símbols). b) Realitzem, en primer llo, el proeiment orenaió i reombinaió els símbols menys probables: s.5 s.5 s.5 s.5 s.5 s, s 3,.5 s 3.5 s 3, s 4.5 s 4.5 Ara ja poem assignar, mitjançant un arbre binari, els bits als símbols: s 4

25 s 4 s 3 s s Coi(s ) Coi(s ) Coi(s 3 ) Coi(s 4 ) Com es pot omprovar, l assignaió garanteix la propietat e que ap oi és un prefix un altre, fent que sigui unívoa la esoifiaió. ) Com poem omprovar, el oi issenyat serà òptim ja que les probabilitats els símbols són potènies e. Comprovem-ho, alulant el núm. e bits per símbol e mitjana: N R p i N i bits/símbol i Per tant, és un oi òptim per aquesta font, i és impossible reuir enara més la taxa e bits per símbol. Problema..8 Dissenya un oifiaor òptim per una font isreta sense memòria amb un alfabet e 5 símbols i amb probabilitats ourrènia {.5,.5,.5,.65,.65}. Calula el % e ompressió assolit en omparaió amb una oifiaió onvenional. S arriba a assolir l entropia e la font? Soluió Analitzant les probabilitats e aa símbol veiem que aquestes són potènies e, per tant un oifiaor e uffman permet assolir perfetament l entropia e la font, que és el límit teòri e ompressió assolible. En fem, ons, el isseny: a b e a b, e a b,, e a b,,, e.5.5 a, b,,, e L assignaió els ois serà, per exemple: a b e

26 Una oifiaió onvenional utilitzaria 3 bits per símbol (ja que amb bits només poríem oifiar 4 símbols). La oifiaió e uffman issenyaa, en anvi utilitza: bits/símbol Per tant s assoleix una granària final el 6.5% respete e la granària original o, el que és el mateix, una ompressió el 37.5% (tant per ent e reuió informaió respete e la informaió original). Es pot omprovar que la quantitat alulaa oinieix amb l entropia e la font: 5 i ( ) p i log p i Problema..9 Sigui una font isreta formaa pels aràters A, B, C, D, E, F, G, i. La probabilitat apariió els quatre primers símbols (A fins a D) és e.5, mentre que la els in restants (E fins a ) és e.. a) Caluleu l entropia e la font, suposant que aquesta no té memòria. Expliqueu-ne el signifiat e manera lara i quina informaió ens óna e ara al isseny e possibles oifiaors. b) Genereu un oi e uffman aaptat a les araterístiques aquesta font. Expliqueu-ne e manera molt lara (i gràfia) el proés e isseny. Caluleu el nombre mitjà e bits per símbol el oi i isutiu-ne el resultat tot relaionant-lo amb l apartat a). ) Expliqueu om moifiaríeu el isseny e l apartat b) si sabéssiu que la apariió un ert símbol oniiona en erta manera la apariió el símbol següent, i que es vol reuir la taxa mitja e bits respete aquest primer isseny (apartat b). Desriviu e forma molt lara què neessitaríeu saber per afrontar el nou isseny, i quins serien els iferents passos a seguir per assolir aquest nou objetiu. Soluió a) L entropia e la font, suposant que aquesta no té memòria, és: N ( X ) ( 4.5 log.5 5. log.) 3.6 bits/símbol p i log p i i L entropia (X) té el signifiat e la informaió pròpia e la font, sense tenir-ne en ompte la reunània. Aquest valor representa una ota (e vegaes assolible, epenent e la tènia usaa) e ara al àlul e la efiiènia en la ompressió e la font que una tènia e oifiaió pot arribar a assolir. En general, pot passar que una tènia e oifiaió arribi a assolir-la però mai a sobrepassar-la, si es alula el nombre mitjà e bits per símbol. Per tant, s ha e prenre om a referènia per al isseny e sistemes e oifiaió e fonts isretes.

27 b) A ontinuaió es mostra el proés e isseny el oi e uffman. El proés es ivieix en 8 passos per a onstruir l arbre que permetrà assignar a aa símbol la ombinaió e bits òptima. En aa pas s orenen els símbols els noes existents per orre ereixent e probabilitat i es ombina en un nou símbol equivalent els os símbols amb menor probabilitat apariió (amb probabilitat suma els os símbols orresponents). A l arbre es veuen els 8 passos en l eix horitzontal i les reorenaions e aa pas (major probabilitat a alt i menor a baix). A.5 B.5 C.5 D.5 E. F. G Per tant, la taula el oi e uffman issenyat la poem generar llegint es els noes (símbols e la font) fins a l arrel, i e reta a esquerra : Símbol Coi Símbo Coi l A F B G C D E Calulem el nombre mitjà e bits per símbol multipliant la longitu e aa oi per la probabilitat el seu símbol assoiat, i sumant el resultat: L N i L i P i 4 ( 3.5) 3 ( 3.) ( 4.) 3. bits/símbol Com es pot observar, no s ha arribat a l entropia e la font, ja que les probabilitats els in arrers símbols són totes iguals a., que no es potènia e. No obstant això, es pot apreiar que el nombre mitjà e bits per símbol s ha apropat força a aquesta entropia, fet que ens iu que el oi obtingut és força òptim si la font és una font sense memòria. 3

28 ) En el as que la apariió un nou símbol estigui oniionaa per el símbol anterior es iu que és una font amb memòria. Només les fonts sense memòria tenen probabilitats apariió inepenents en el temps. En el as una font amb memòria, la seva entropia es veu reuïa a ausa e la reunània implíita que hi ha en el oniionament amb eseveniments anteriors. Per tant, el oi issenyat en l apartat b) eixaria e ser tant òptim, a ausa aquesta reuió entropia, la qual osa signifia que seria possible assolir una oifiaió millor aaptaa a la naturalesa e la font. Una forma e millorar el isseny e l apartat b) seria reaaptant el proés e isseny el oi e uffman però tenint en ompte símbols entraa que estiguessin formats per blos e N símbols e la font original. La epenènia temporal l aprofitarà millor el oi, en poer explotar-la isposant e la realitzaió onjunta e blos e símbols onseutius en el temps. A mesura que augmentem la longitu el blo entraa, el oi obtingut seria aa vegaa més òptim. Per exemple, esollint N, tinríem blos e símbols, omençant per la possibilitat AA, AB fins a arribar a la, en total 9 8 nous possibles símbols entraa. Per a poer refer el isseny el oi, primer s haurien e alula les probabilitats e aa nou símbol, usant la següent expressió: ( XY ) P( Y ) P( X Y ) P / suposant que el blo entraa esta format pels símbols X i Y i que X és el símbol transmès esprés que Y. El oneixement e les probabilitats absolutes e aa símbol així om e les oniionaes un ert símbol suposant onegut l anterior transmès (ja que es trataria un proés Marovià orre, en aquest as) s haurien e alular primer a partir un estui estaísti e la font. Conegues les probabilitats e aa blo (e N símbols, en aquest exemple), ja poríem proeir al isseny el oi, tot apliant l algorisme per a onstruir l arbre binari segons el proeiment estànar efinit per uffman. Amb la seva implementaió obtinríem una nova taula assignaions, en què a aa possible blo e N símbols se li assignaria una ombinaió eterminaa e bits. Problema.. Sigui una font binària amb alfabet {a,b} e la qual es vol transmetre el següent missatge e 6 símbols: a a a a b b a a b a a b a a b b a) Coifia mitjançant l algorisme e Lempel-Ziv el missatge anterior amb un iionari e granària 4 símbols, suposaament iniialitzat amb els símbols base e la font (a i b). Calula la longitu el missatge oifiat en Núm. e bits, tenint en ompte úniament les arees transmeses. Explia e forma raonaa el proés e oifiaió. b) Basant-te en l estaístia el missatge e l enuniat issenya un oi e uffman que fai ús e paquets e os símbols entraa onseutius per a realitzar la oifiaió. Calula la longitu el missatge oifiat en Núm. e bits 4

29 i ompara-la amb el resultat e l apartat anterior i amb una oifiaió onvenional (sense ompressió). Comenta els resultats. Soluió a) Suposant que el iionari e 4 símbols ja està iniialitzat amb els símbols bàsis a i b, la oifiaió Lempel-Ziv quearia e la següent forma, en què s iniquen el llibre el oi generat, la seqüènia e símbols maraa segons els símbols transmesos juntament amb la transmissió els símbols: a a a a b b a a b a a b a a b b Seqüènia oifiaa amb Lempel-Ziv: <,a> <,b> <,-><3,-> <3,.-> <3,-> <,-> Diionari N OUT a () b () aa () aab (3) Com es pot apreiar, el proés e Lempel-Ziv omença per omplir el iionari, reant noves entraes e granària reixent i basaes en entraes anteriors moifiaes amb nous símbols base afegits al final. Això passa urant els os únis símbols que poem entrar (tenint en ompte que el iionari onté els os símbols base), els quals queen marats amb fons gris: aa i aab. Seguiament, una vegaa el iionari és omplet, se segueix oifiant la resta el missatge busant sempre el símbol més llarg ins el iionari per maximitzar així la apaitat e ompressió. En aquest as, per sort, es troba fins a tres vegaes el símbol aab, e màxima longitu. En aquests asos, atès que el iionari és e quatre símbols, aa símbol el oi es oifia amb bits (veure part reta el iionari, en binari o en eimal entre parèntesi), e manera que aquests símbols prouiran una erta ompressió (tres bits entraa es oifiquen en os bits). D altra bana, ues vegaes es troba el símbol b e manera que això fa que la ompressió no sigui tant alta (un bit entraa es oifia en os bits e sortia). La longitu el missatge oifiat és, ons, 7 símbols bits símbol 4 bits. b) Si agafem els símbols e en os, tenim la següent estaístia: Símbol # Ourrènies Probabilitat aa 4.5 ab.5 ba.5 bb.5 a a a a b b a a b a a b a a b b 5

30 Segons les probabilitats els símbols agafats en blos e, poem realitzar el següent isseny e uffman: aa.5 bb.5 ab.5 ba Coi N Coi OUT aa bb ab ba Per tant, la seqüènia oifiaa seria: a a a a b b a a b a a b a a b b Seqüènia oifiaa amb uffman: Com poem observar, en aquest as els símbols amb major probabilitat queen ben representats per menys bits, la qual osa óna llo a una erta ompressió. Com es pot observar, mentre el oi e Lempel-Ziv assigna aenes e longitu variable a l entraa a ois e longitu fixa a la sortia, el oi e uffman ho fa e manera inversa, assignant a ois e longitu fixa a l entraa aenes e longitu variable a la sortia. En aquest as, el missatge oifiat té una uraa e 4 bits. En aquest as, el oi e uffman és un oi òptim, ja que les probabilitats els símbols són potènies e, e manera que s aonsegueix arribar a l entropia e la font:.5log.5.5 log.5.5 log.5.75 bits/símbol Com el símbol, en realitat, està format per os símbols e la font, un missatge e 6 símbols originals o 8 símbols (agrupats e os en os) poria arribar a tenir una uraa e.75 bits/símbol 8 símbols 4 bits, que és la uraa que aaba tenint el missatge. Aleshores poem onloure que, en aquest missatge, l algorisme e Lempel-Ziv ha tingut un exemple molt favorable, en onar una apaitat e ompressió òptima i igual a la el oi e uffman.. Tèniques e oifiaió e fonts analògiques Problema.. Dibuixeu el iagrama e blos un oifiaor i esoifiaor DPCM i responeu a les següents preguntes: a) Quins avantatges presenta aquest oifiaor respete el oifiaor PCM normal. b) Expliqueu el proeiment e isseny el preitor. 6

31 Soluió a) Prèviament farem un petit esment el oifiaor i esoifiaor PCM, per entrarnos esprés en l altre tipus e oifiaor i esoifiaor: el DPCM. El iagrama e blos el PCM(Pulse Coe Moulation) és el següent: La tènia e oifiaió seguia en la moulaió PCM es basa a oifiar iretament l amplitu el senyal X(t), prèviament mostrejat i quantifiat. La seva veloitat e sortia (Data Rate) és: Rb fm mostres/s N bits/mostr a f m N bits/s En aquest tipus e format poríem apliar alguna tènia, om uffmann, et., per a reuir el Data Rate e la transmissió. Per altra bana, el iagrama e blos el oifiaor DPCM (Differential PCM) seria el següent (veure figura e la pàgina següent). Amb aquest tipus e oifiaor, a iferenia e l anterior, poem oifiar i transmetre només la part no preitible el senyal X[n] (senyal entraa en format PCM). A més a més, fent servir un Blo Preitor poem mantenir la mateixa qualitat reuint el número e bits o inrementar-la tot mantenint el mateix número, fet que suposa un gran avantatge. El Blo Preitor tinrà la tasa e generar un altre senyal ( X^[n] ) amb els trets signifiatius el abans part preitible el senyal X[n], que es orrespon, generalment, a les omponents e més baixa freqüènia, amb una major orrelaió temporal. El senyal que es quantifiarà i s enviarà serà, e fet, l error aquesta preiió (δ[n]), un senyal e menor potènia (i marge inàmi) que el entraa, i que ontinrà la informaió menys preitible el senyal entraa. 7

32 Poem ir que si el nostre senyal té una part informaió preitible, tinrem que el marge e valors neessaris (Marge Dinàmi) s ha fet menor. És a ir, it una altra manera, per tenir el mateix pas e quantifiaió - mateixa qualitat usarem menys bits, el Data Rate serà menor. Aquesta preiió es farà sobre el senyal quantifiat X~[n] i reonstruït a partir e la mateixa preiió, i no amb X[n] iretament. Això es fa aquesta manera perquè el esoifiaor preiu respete els valors quantifiats, per tant, també ho ha e fer així el oifiaor. En as ontrari, hi haurà una propagaió e l error a ausa e la inoherènia entre les preiions e l emissor (o oifiaor) i el reeptor (o esoifiaor). Per tant, és evient que tant el transmissor om el reeptor hauran e onèixer el preitor. El primer haurà e busar els oefiients el preitor i informar-ne el reeptor. i pot aparèixer algun problema si el senyal entraa anvia molt: potser no arribarem a quantifiar tot el anvi. b) Tratem ara el proeiment el isseny el preitor. És un problema típi e filtre e Wiener. Coneixem les mostres es e la n- fins les N anteriors, en què N és la memòria el preitor. Poem esriure: N r T r x^[n] ai x[n i] a x[n ]... an x[n N] h x i en què els vetors són, per efete, olumna i T és l operaor e transposiió. Allò que nosaltres volem trobar és el vetor e oefiients el filtre òptim per al nostre sistema. El preitor quearà perfetament efinit per aquest vetor e oefiients que anomenarem h r opt. Per a obtenir aquest vetor haurem e minimitzar l error quaràti mitjà. La funió a minimitzar serà la següent: [ e [n]] E En què e[n] és l error e preiió efinit om e[ n] x[ n] xˆ [ n]. 8

33 Aquesta funió la poem esomponre en: E[e [n]] E[(x E[(x E[x r T r P h x [] n x^[ n] ) ] r T r r T r T [] n h x) (x[] n h x) ] r T r [] n ] h E[x x[] n ] E[x[] n xx r h T r Rxxh r r r x]h h en què: x r és el vetor que onté les mostres e la n- fins la n-n: x[n ] r x[n ] x... x[n N] T r r E[x x T r ]h h r és el vetor que onté els oefiients que volem trobar el filtre òptim: a r a h... an r xxés el vetor e orrelaió reuaa, en aquest as autoorrelaió, que mesurarà la similitu entre el vetor i la base que fem servir per a fer la preiió: r xx ( ) ( ) rxx x[n ] x[n] rxx x[n ] x[n] E ( ) r N x[n N] x[n] xx i Rxx és la matriu autoorrelaió que mesurarà l autoorrelaió entre les omponents e base: 9

34 R xx E[x x T x[n ] x[n ] x[n ] x[n ] ] E... x[n N] x[n ] r rxx x[n ] x[n ] x[n ] x[n ] x[n N] x[n ] rxx( ) rxx( ) L rxx( N ) xx( ) rxx( ) O M M O O rxx() ( N ) L r ( ) r ( ) xx... xx x[n ] x[n N] x[n ] x[n N]... x[n N] x[n N] Continuant amb la resoluió, aquesta passaria per erivar la funió a minimitzar respete e tots els oefiients i igualar-la a zero; és a ir: (E[e [n]]) r h (E[e [n]]) r h r r r E[x x[n]] Rxx h (h r r E[x x[n]] R xx h R xx r r xx Rxx h T T Rxx) r h T De l anterior sistema equaions obtenim l equaió e isseny el preitor: r r hopt Rxx rxx Així, el proés e isseny el preitor implia: Reopilar mostres e veu reals: x[n] Calular la funió autoorrelaió fins els N esplaçaments possibles, tot aproximant el valor esperat per una mitjana temporal: M ( ) r ˆxx m x[][ n x n M ] M n Generar el vetor r xx i la matriu R xx a partir e les estimaions anteriors. Soluionar el sistema equaions anterior tot invertint la matriu R xx i multipliant pel vetor r xx. 3

35 Problema.. Expliqueu breument els fonaments un oifiaor LPC, ibuixant el iagrama e blos i iniant la funionalitat e aa blo (màxim una plana). Soluió La tènia e oifiaió LPC (o e oifiaió per preiió lineal) es fonamenta en rear un moel matemàti basat en la forma e generaió e la parla (pols glotal trate voal), e manera que la informaió que es transmetrà seran els paràmetres el moel en llo enviar totes les mostres temporals el senyal (que és el que fan els oifiaors per forma ona tipus PCM, DPCM, et.). És a ir, enviarem un onjunt e paràmetres representatius el senyal per tal que el reeptor pugui generar alguna osa semblant amb araterístiques aústiques semblants. El iagrama e blos el oifiaor seria el següent: x(n) LPC N mostres r(n) Càlul exitaió LPC N mostres x (n) Coefiient s LPC Càlul exitaió Coefiient s LPC Càlul e oefiients Multiplex Demultiplex N oefiients e LPC i paràmetres exitaió aa mseg Pel que fa la funionalitat e aa blo, el Filtre LPC s enarregarà absorbir la informaió assoiaa a la envolupant espetral el senyal e veu x(n). Aquesta envolupant és e fet la resposta un filtre que varia al llarg e temps i que està assoiaa al trate voal (variaió e la posiió relativa els artiulaors: llengua, llavis, palaar, et.). L anàlisi i transmissió es realitza a trames e longitu onstant i uns mseg, e manera que es pot onsierar que els artiulaors romanen en una posiió gairebé onstant urant aquest temps, i per tant, també l envolupant espetral el filtre assoiat. Mitjançant Càlul e oefiients obtinrem el oefiients LPC e aa trama, que passarem ap el filtre i utilitzarem també per a fer la preiió. Aquesta preiió s obtinrà a la sortia el filtre, e forma restant-la e l entraa obtinrem l error e preiió. Aquest error estarà assoiat al senyal exitaió que ha anar a l entraa el sistema e reonstruió (invers el sistema e preiió) per a regenerar el mateix senyal e veu. Mitjançant el blo e Càlul exitaió es alulen els paràmetres que millor representen el senyal exitaió, e manera que la 3

36 transmissió es realitza multiplexant aquests paràmetres e l exitaió amb els oefiients el filtre LPC alulats aa ms, aproximaament. Problema..3 (PRO..5.7 Problema e àlul un preitor lineal) Un filtre preitor lineal e etapes és issenyat per operar en un sistema DPCM. Aquest preitor és e la forma: X ) ( n) a X ( n ) ax ( n ) a) Determina els valors e preiió mitjà. * a i b) Determina la potènia e l error e preiió * a que minimitzin l error quaràti Suposa que el senyal entraa X(n) és real (veu) i té la funió e orrelaió següent: Rxx [ m] E[ X ( n) X ( n m) ] m 4 m, ±, ±, ± 3, ± 4 resta Soluió a) Definirem h r a om el vetor amb els oefiients el filtre: h r a i X r om el vetor e mostres que onté el filtre en aa instant n: X r X X ( n ) ( ) n Aleshores: ) X n) h r T X r ( X ( n ) X ( n ) [ a a ] i l error el efinirem om: ) e( n) X ( n) X ( n) Aleshores la preiió e l error mínim quaràti: ) r r r T T T T [ ( n) ] E[ ( X X( n)) ] E[ ( X h X( n)) ] E[ ( X h X( n))( X h X( n)) ] E e 3

37 r r r r r r r r r E E T T T T [ X ( n) ] h E[ X X ( n) ] E[ X ( n) X ] h h E[ X X ] h E X ( n) [ e ( n) ] E X ( n) en què r xx r r r T r T [ ] h h R h xx X ( n ) X ( n) E X ( n ) X ( n) i xx R xx X ( n ) X ( n ) E X ( n ) X ( n ) T r T [ ] h h R h X ( n ) X ( n ) X ( n ) X ( n ) Per trobar els oefiients a i a que minimitzin l error quaràti haurem e minimitzar (erivar) respete el vetor e oefiients i igualar a zero: [ ( n) ] a [ ( n) ] E e E[ e ( n) ] r T h E e a E e ( n) r r r T T r r r xx Rxx h ( h Rxx) xx Rxx h T h [ ] xx r xx r aleshores r h optim R r xx rxx b) Com ja hem alulat en l apartat anterior, l expressió e la preiió e l error mínim quaràti vinria onaa per: E [ e ( n) ] E X ( n) r r r T r T [ ] h h R h el vetor e oefiients que minimitza aquesta expressió: r r h R r Si substituïm aquest valor a l expressió e l error quaràti mitjà quearia optim r T r r r T T T [ ( n) ] E[ X ( n) ] h h R h h r h R h. 357 E e xx xx xx opt xx opt xx opt xx xx xx 33

38 Problema..4 Comparaió entre les tèniques e oifiaió per a senyals e veu Voòer- LPC i DPCM. Dibuixa els esquemes tant e oifiaió om el esoifiaor eixant lar els paràmetres involurats en el sistema. Explia la filosofia que s utilitza per assolir la ompressió el senyal. Quina e les ues tèniques permet assolir guanys e ompressió majors? Justifia n la resposta. Soluió La oifiaió DPCM (Differential Pulse Coe Moulation) persegueix la ompressió el senyal basant-se en la orrelaió pròpia el senyal. La baixa freqüènia el senyal analògi entraa és eliminaa mitjançant una preiió aquesta omponent amb memòria o preitible. La part menys preitible, po orrelaa i e més alta freqüènia resta al senyal error e[n], que té una potènia bastant inferior que la el senyal entraa x[n]. Aquest fet permet éser aprofitat per una quantifiaió amb un nombre e bits força menor que els utilitzats en el senyal entraa. Donat que la reonstruió s ha e fer amb el senyal error quantifiat, el preitor el oifiaor ha e treballar amb el mateix senyal reonstruit ~ x [ n] que generarà el esoifiaor. Generalment, amb senyals e veu, i treballant a 8 mostres/seg., n hi ha prou amb 3 ò 4 oefiients (ja que la orrelaió el senyal té una amplaa e 3 ò 4 vegaes el temps e mostratge). Els guanys e preiió es troben al voltant e 6 a 8 B s. Esquema el oifiaor i esoifiaor DPCM. El Voòer-LPC és un oifiaor e font aaptat al moel e generaió e la parla. El moel s ajusta a trames e mil lisegons, temps urant el qual se suposa que el senyal e veu és un senyal estaionari i, per tant, es pot generar amb una exitaió (que simuli o el pols glotal generat per les ores voals en el as els sons sonors, o bé la friió provoaa per la sortia aire a través els òrgans voals, en el as els sons sors) seguia un filtre que simula el trate voal (que permet istingir, per exemple, una a una o ). Caa mseg el oifiaor analitza els oefiients LPC el filtre preitor que s enarrega e regenerar el trate voal a partir e l exitaió. 34

39 x(n) LPC N mostres r(n) Càlul exitaió LPC N mostres x (n) Coefiient s LPC Càlul exitaió Coefiient s LPC N oefiients e LPC i paràmetres exitaió aa mseg Càlul e oefiients Multiplex Demultiplex Esquema el oifiaor i esoifiaor basat en moels LPC. Generalment n hi ha prou amb - oefiients LPC, ja que el trate voal quea ben representat amb, 3 o 4 formants o pis e freqüènia. A partir el senyal error e preiió, el transmissor alula el senyal exitaió. Aquest, en la versió simplifiaa està format per o bé un senyal periòi (tren e eltes, et...) o bé un soroll blan Gaussià. Mentre el primer serveix per a regenerar els sons més aviat sonors, om ho són per exemple les voals, el segon permet imitar els sons més sors om ho són les onsonants. Així, el àlul e l exitaió implia el esbrinar si el senyal ins la trama e mseg és sonor o sor. D altra bana, també al etetar l energia i el pith o tò fonamental (aquest últim només en el as e tratar-se e sons sonors). El pith serveix per a iniar la perioiitat e l exitaió periòia, i juntament amb l energia óna una major naturalitat al senyal sintetitzat amb el voòer. El Voòer LPC presenta guanys e oifiaió majors que el oifiaor DPCM. La raó prinipal és que és un oifiaor basat en el moelatge el proés e generaió e la parla, amb la qual osa es omprimeix millor la part preitible el senyal (la reunània ve representaa pel oefiients LPC). La DPCM no treballa loalment en trames e mseg. i, per tant, només elimina la reunània mitjana el senyal, no poent profunitzar més en l anàlisi. Problema..5 Sigui un senyal e veu mostrejat a 4K mostres/seg., i amb una autoorrelaió tal que: R xx [ m] R xx [ m] m m m > m < 35

40 a) Dissenya un oifiaor DPCM aequat per a aquest senyal, que utilitzi om a molt mostres anteriors per preir la mostra atual. Dibuixa l esquema el oifiaor i el esoifiaor i troba els valors òptims els oefiients el filtre e preiió. b) Com moifiaries l anterior esquema per tal e fer una preiió en base a una sola mostra anterior? En aquest últim as, explia què són l error granular i la sobreàrrega e penent, i quina estratègia pot soluionar aquests problemes. Soluió a) Ens emanen un sistema DPCM utilitzant un filtre e preiió lineal e oefiients, per tant alulem la soluió al sistema que resulta e minimitzar la potènia e l error e preiió: a a t.q. a a on xˆ La soluió a aquest problema és: J E [ x[] n xˆ [] n ] [] n a x[ n ] a x[ n ] és mínim a a a R r xx x R R xx xx [] Rxx[ ] [] R [ ] xx R R xx xx [ ] / 3 [] 3 /3 L esquema tant el oifiaor om el esoifiaor DPCM és el següent, en què el preitor és orre N : En què el preitor és un filtre FR tal om: 36

41 x[] n z - z - /3 -/3 xˆ [ n] b) Si s utilitza només sol oefiient e preiió aleshores l úni oefiient e preiió seria: Rxx[ ] a.5 R xx [] Aquest tipus e preitor és útil quan el senyal original està molt orrelat, e manera que la variaió una mostra a la següent és molt menor que el valor absolut e la mostra. Per tal que es ompleixi aquesta propietat, al que el senyal x [] n hagi estat sobremostrejat. Això signifia que la freqüènia e mostratge utilitzaa f s sigui e l orre e 4 o més vegaes la freqüènia e Nyquist (el oble e l amplaa e bana el senyal). En aquestes oniions l error e preiió es pot quantitzar a bit/mostra, i quan més alt sigui el fator e sobremostratge més petit serà l error e quantifiaió. L esquema és aleshores anomenat la moulaió elta, amb l únia iferènia que en sobremostrejar el senyal, els valors e l autoorrelaió anvien, i sempre es ompleix que Rxx [] Rxx[ ], per tant l úni oefiient e preiió és a. D altra bana, es efineix el paràmetre Δ om el valor els nivells e quantifiaió { Δ, } s Δ s s La moulaió elta pot presentar tipus errors, assoiats al isseny el paràmetre Δ s : L error granular: es proueix en situaions en què el senyal x [] n és gairebé onstant, e manera que l error e preiió quantifiat osil la entre els os nivells e quantifiaió. L error e sobreàrrega e penent: quan el senyal entraa té penents molt pronuniaes o anvis sobtats i la inèria el oifiaor no pot seguir-les ( x' () t > Δs f s ), aleshores apareix aquest error, i es pot intuir pel fet que l error quantifiat manté el signe urant llargs períoes e temps. En el as que el pas e quantifiaió Δ s sigui onstant, es pot minimitzar el primer problema fent-lo petit, o minimitzar el segon problema fent-lo sufiientment gran. Per evitar els os problemes alhora, és més aonsellable seguir una estratègia e pas e quantifiaió variable. D aquesta forma, el valor e Δ s s inrementaria o bé es erementaria en funió e l error e preiió (en funió e la seva magnitu) o bé e l error quantifiat (per exemple, etetant els asos osil laió onstant K,,,,,,K K,,,,,,,K ). { } i els e signe onstant { } 37

42 Problema..6 Explia breument el onepte i utilitat e la quantifiaió vetorial, així om els oneptes relaionats: oeboo, entroie, mètoes e era. Soluió La quantifiaió vetorial és una tènia e oifiaió e blo, i es pot entenre om una extensió e la quantifiaió esalar, realitzaa en imensió, portaa a un terreny e N imensions. Partint e mostres isretes una font analògia, es isposen en blos e N mostres, i es oifia tot un blo om una sola entitat e quantifiaió o entroies (o paraula el oi), la qual osa equivalria al nivell e quantifiaió en imensió. Els quantifiaors esalars més efiients són els no uniformes, ja que aapten la ensitat e nivells e quantifiaió segons la istribuió amplitus e la font a quantifiar, i això reperuteix iretament en una millor relaió senyal soroll (e quantifiaió) el senyal reonstruït. De la mateixa forma, la quantifiaió vetorial també s aostuma a issenyar aor amb la istribuió e la font vista es e la seva representaió a blos N mostres. Les regions e l espai N-imensional amb més ensitat e probabilitat seran les zones en què hi haurà assignats més entroies, mentre que a la resta els entroies seran menys i estaran molt més espaiats. El oeboo no és més que el onjunt e entroies o vetors quantifiats que finalment farem servir per representar qualsevol vetor entraa. El oifiaor s enarrega esbrinar quin és el vetor el oi que millor representa al vetor entraa, seguint un riteri e mínima istorsió (generalment basat en la istània eulíia), i aaba retornant l ínex e la posiió el entroies. El esoifiaor inexa iretament el oeboo amb aquesta ínex per aabar onant la paraula quantifiats om a resposta. A part el isseny el oeboo, un els proeiments que pot omportar un alt ost e omputaió és el mateix proés e quantifiaió, és a ir, l assignaió el entroie més proper al vetor entraa. Per aquest propòsit es issenyen els mètoes e era. Els Coeboo Coers fan una era exhaustiva alulant les istànies el vetor entraa a qualsevol els entroies el oi, i onant om a resposta el vetor e mínima istània. Els Tree/Trellis Coers intenten simplifiar aquest proés a osta augmentar la poblaió el oi (s afegeixen entroies representatius e subregions aglutinaes e punts). En aquest as la era es fa per etapes, e forma es omença alulant istànies a entroies més genèris, representatius e regions més grans, i s aaba per omparar amb els entroies propis el oi. Aquest proés permet una aeleraió important el proés e oifiaió. 38

43 Problema..7 Explia i ompara breument els iferents mètoes e oifiaió e blo que oneixes. Justifia quins benefiis pot aportar el oifiar una font analògia igitalitzaa per blos o bé mostra a mostra. Soluió La oifiaió e blo és una alternativa a la oifiaió mostra a mostra per a fonts analògiques quantifiaes, e manera que es pretén proessar la reunània inherent entre mostres onseutives per extraure la informaió onjunta que ontenen blos e longitu onstant. Els benefiis que pot aportar la oifiaió e blo enfront a la oifiaió mostra a mostra és una guany e ompressió major, gràies al fet que només es oifia la informaió pura que aporta aa mostra, sense onsierar les orrelaions pròpies que poen existir entre mostres properes. Dins e les tèniques e oifiaió e blo poem enuniar: - La quantifiaió vetorial. Caa paraula e N mostres oifiaa amb B bits M per mostra és quantifiaa a un els entroies (oeboo) que representen l espai e representaió els vetors N imensionals entraa. Generalment M és força menor que N vegaes B, e manera que s assoleix una gran ompressió e les aes entraa. Aquest tipus e oifiaors es issenyen aor amb la estaístia e la font i, per tant, s aapten molt millor a aa as. No obstant això, aostumen a presentar una gran omplexitat e oifiaió, proés en el qual al realitzar una era el entroie que millor representa la paraula entraa. - Coifiaió per mètoes transformats. En aquest as el blo N mostres és transformat mitjançant una apliaió bijetiva (transformaió lineal) a un altre omini (omini transformat). L objetiu és eliminar la orrelaió temporal existent entre les mostres el blo entraa, e manera que en el nou omini les mostres estiguin molt més eorrelaes i es puguin oifiar e forma inepenent apliant per exemple una quantitzaió aaptaa a la variània e aa mostra el blo. Entre les més onegues es troben les tèniques basaes en la DFT (Disrete Fourier Transform), la DWT (Disrete Walsh- aamar Transform) i la DCT (Disrete Cosine Transform). La paraula oifiaa és esoifiaa mitjançant la transformaió inversa. - Coifiaió per subbanes. Aquesta és una tènia que generalitza el mètoe transformat e la DFT a subbanes e iferent amplaa. D aquesta forma, el oifiaor integra l energia una eterminaa bana freqüenial, intentant onar esprés la importània neessària (núm. e bits el quantifiaor) en funió e la sensibilitat e perepió humana ins aquella bana en onret (p.ex. sensibilitat auitiva en el as e senyals e àuio). 39

44 Problema..8 Contesteu raonaament a les següents preguntes teòriques: a) Expliqueu raonaament l ús e la DCT en el sistema e oifiaió imatge JPEG. Deixeu onstània e les iferènies e la DCT respete e la FFT i justifiqueu l orre en què es transmeten els oefiients. b) Expliqueu el funionament el sistema e oifiaió àuio Coebooexite Linear Preitive Coing. Detalleu, e forma breu i onisa, els iferents mòuls el oifiaor així om el seu funionament. ) Expliqueu breument el sistema e preiió imatges el sistema MPEG. Detalleu el tipus imatges impliaes així om la funió e aasuna elles en el proés e oifiaió. Soluió a) La DCT és una transformaa isreta que projeta el senyal entraa en una base e senyals reals i amb simetria parella. L apliaió e la DCT a la oifiaió imatges s aostuma a fer amb blos e 8x8 píxels e la imatge i es projeten sobre la base e la DCT. La apaitat e ompressió s assoleix gràies que la major part e les imatges (a aquest nivell e subimatges) són e baixa freqüènia, és a ir, la major part el ontingut e la imatges orrepon a formes e gran magnitu, e manera que es poen representar amb pos oefiients e la DCT (els e baixa freqüènia, tant vertial om horitzontal). Diferènies entre la DFT i la FFT: la FFT és la implementaió ràpia e la DFT, que projeta sobre les omponents sinus i osinus, e manera que els oefiients en el nou espai freqüenial tenen part real i part imagionària (són omplexes). La DCT, en anvi, només projeta sobre la omponent osinus. Això fa que la síntesi e la seqüènia imatge a partir els oefiients oni llo a una seqüènia simètria parella. L extensió e la seqüènia amb repetiions amb simetria parella fa que les transiions entre repetiions quein suavitzaes, la qual osa proporiona una millor ompataió e l energia a les baixes freqüènies (veure figura següent). Els oefiients, altra bana, són reals, i no tenen part imaginària. /f : DFT /f : DCT Orre e transmissió els oefiients: en primer llo es transmeten els oefiients e baixa freqüènia, que són els que ens onen major informaió. A mesura que anem transmetent més oefiients (els e més alta freqüènia) s anirà ajustant més a la imatge real. Això permet regular la qualitat e la imatge i el fluxe e bits e sortia (en funió els oefiients que transmetem i els que no). El proeiment per anar inrementar la freqüènia assoiaa als oefiients transmesos es basa en un proés 4

45 e esanejat en zig-zag, omençant pel oefiient e l extrem superior esquerre (baixa freqüènia ant horitzontal om vertial) i llegint e forma progressiva iagonals inverties seguint l esquema següent: b) Diagrama e blos: Diionari aaptatiu γ a Senyal e veu original - Filtre e ponerai ó Mitja ^ γ s Filtre e retar urt (LPC) Error instantani objetiu Error pereptual Diionari estoàsti El sistema LPC permet augmentar la ompressió si s aplia un proeiment, que s anomena syntesis by analysis, i que onsta e ues etapes: ) En una primera etapa es alulen els oefiients el filtre LPC amb una trama e mseg, que moelen l envolupant espetral e la trama e veu a oifiar. ) En la segona etapa es mira quina és la senyal exitaió més probable, omparant el senyal real amb el oifiat. Els senyals exitaió es troben en iionaris, e manera que la seva generaió es esomposa una part harmònia o periòia, oifiaa a partir e os paràmetres, i una part sorollosa. La oifiaió basaa en síntesi per anàlisi es basa a eterminar el onjunt e paràmetres que minimitzen un ert error pereptual. Aquest error es alula a partir una poneraió (en funió e la sensibilitat humana al llarg e la freqüènia) sobre l error omès entre el senyal real i el senyal sintetitzat a partir els paràmetres esollits. 4

46 Caa 5 mseg el filtre e sortia genera una exitaió onsultant aquests iionaris e paràmetres. Els paràmetres el sistema són: ) Senyals periòis ( filtre): filtre amb realimentaió que permet generar els iversos pseuoperíoes el senyal ins e la trama e 5 mseg. Aquest filtre té bàsiament os paràmetres: G: guany e realimentaió P: períoe el senyal ) Senyals sorollosos: En aquest as es isposa e isverses realitzaions (típiques) e la part més sorollosa el senyal orresponent a veus reals. Caa mseg es transmet al reeptor: Coefiients LPC 4 Paràmetres e retar i guany 8 Arees el oeboo Bits e paritat i e ontrol ) L estànar MPEG es basa en 3 tipus e reunània: - Temporal: entren imatges suessives - Espaial: entren blos ins una imatge - Estaístia: amb les aes esprés e quantifiat i seleionar l orre enviament els oefiients e la DCT e aa subimatge. Es ivieix la imatge en maroblos (agrupaions e 4 blos e 8x8 píxels e luminània i els e rominània assoiats) i es alulen els vetors e moviment (busant, mitjançant una orrelaió D, aa maroblo en una altra imatge posterior) segons el tipus imatge. Després es oifia l error e preiió amb la DCT i posteriorment s aplia un oi per entropia una vegaa s ha realitzat la quantifiaió. Tipus imatges: : es oifiquen iretament amb la DCT. Cal que n hi hagi una aa frames per no tenir propagaió e l error. P: es oifiquen en funió una imatge anterior tipus. B: a partir imatges anteriors o posteriors (tipus P o B) són les que ens onen major ompressió Proés e preiió: treballa amb maroblos (4 blos e luminània i els e rominània assoiats). Per a busar el vetor e moviment se sol fer una era en tres etapes, perquè una era exhaustiva impliaria massa ost omputaional. 4

47 Problema..9 Siguin els següents oifiaors per a fonts analògiques (enotats per A, B i C): a) Quin esquema pateixen els problemes e sobrepenent i error granular? Quin és el motiu aquests errors i om es poen minimitzar? Posa exemples gràfis. b) Orena els esquemes segons la freqüènia e treball suposant que el senyal a oifiar és el mateix per a tots els asos. Argumenta el perquè aquesta iferènia e forma justifiaa. ) Quins esquemes requereixen un oneixement previ e la font i per què? Expliita en què afetaria aquest oneixement els iferents mòuls els esquemes esmentats. ) Quin esquema reus que permet majors taxes e ompressió i per què? e) Comenta la funió el blo Forwar transform el oifiaor C. 43

48 Soluió a) L esquema B és el que pot patir aquests os problemes, ja que es trata e la moulaió elta. A ontinuaió es mostra un exemple gràfi aquests os problemes: L error e sobrepenent es proueix quan el senyal entraa té variaions massa ràpies, e manera que superen el màxim penent que pot assolir el senyal esoifiat (onretament el penent màxim que pot seguir és Δ f s ). L error granular, en anvi, es proueix quan el senyal entraa té variaions nul les, e manera que el senyal reonstruït osil la entre os nivells separats justament el pas e quantifiaió Δ. Per a minimitzar aquests efetes, al augmentar el pas Δ o la freqüènia e mostratge f s /T s en el as e l error e sobrepenent i isminuir el pas Δ en el as e l error granular. És per això que els sistemes més efiients són els que fan servir passos e quantifiaió aaptatius, per exemple augmentant el valor e Δ quan el senyal oifiat manté el signe urant força temps seguit (es eteta problema e sobrepenent), i isminuint-lo quan aquest alterna el signe massa sovint (es eteta problema e error granular). b) De menor a major freqüènia e treball, i suposant un senyal e veu original mostrejat a f s mostres per segon, serien: C A B. La justifiaió és la següent: - L esquema C es orrespon amb una oifiaió e blo, e manera que es treballa amb un buffer o vetor entraa e N mostres onseutives el senyal e veu. Per tant, aa N/f s segons es passa la informaió un blo al següent (p.ex. blo e transformaió, o blo e quantifiaió) o, el que és el mateix, la freqüènia e treball és e f s /N blos per segon. 44

49 - L esquema A treballa a la mateixa freqüènia a què es passa el senyal e veu (f s freq. e Nyquist Amplaa e bana el senyal), ja que es trata un oifiaor DPCM. - L esquema B treballa a una freqüènia M (>>, p.ex. M 64) vegaes superior a la original, ja que en el sobremostratge es basa la moulaió elta, per tal aonseguir un fator e orrelaió molt alt entre ues mostres suessives el senyal. En aquest as, la freqüènia e treball serà e Mf s en què f s és la freqüènia e Nyquist el senyal. ) L esquema A (DPCM) requereix una anàlisi e l autoorrelaió el senyal e veu x(n) per a poer alular el filtre e preiió lineal orre N. La soluió òptima aquest filtre es pot expressar per hopt R xxrx, en què R xx és la matriu autoorrelaió orre N (que onté l autoorrelaió posaa per iagonals, partint e l origen a la iagonal prinipal) i r x és un vetor també orre N amb l autoorrelaió a partir el esplaçament una mostra. D altra bana, l esquema C pot requerir també el oneixement previ e la font si es fan servir transformaions epenents e les aes (p.ex. DKLT i PCT). De fet aquestes són les que poen onar un major guany e oifiaió, però impliquen aquest estui previ estaísti per a la seva apliaió. També el proés e quantifiaió (Threshol Eitor an Quantizer) pot requerir aquest oneixement si es vol aaptar el quantifiaor a les araterístiques partiulars el senyal a oifiar, tot i que sovint es fan servir riteris genèris, epenent e moels pereptuals. Per aabar, en la moulaió elta pot ser neessari un estui previ e la font (energia e la freqüènia màxima signifiativa) e ara a minimitzar el problema el sobrepenent (màxima variaió el senyal). ) Està lar que el oifiaor B (elta moulation) no aporta taxes e ompressió, ja que es trata un sistema alternatiu per a oifiar senyals amb quantifiaors e molt baixa resoluió, però no permeten reuir la quantitat informaió e partia. L esquema A aporta guanys e oifiaió (6-8 B s respete e moulaió PCM) quan tratem senyals e veu i els oefiients el filtre preitor s han aaptat a les araterístiques estaístiques e la font. No obstant això, el oifiaor e blo (esquema C) també aporta guanys e oifiaió, amb l afegit que la quantifiaió es fa per banes e freqüènia i, per tant, permet aaptar-la a riteris subjetius e la perepió humana. En prinipi, per tant, sembla més lògi pensar que l esquema C pot aportar majors guanys e oifiaió (major qualitat o SNR en la reonstruió mantenint la mateixa taxa e bits/seg). e) El blo Forwar transform s enarrega e inepenitzar (o eorrelar) les mostres el blo e sortia, e manera que sigui aequaa una quantifiaió esalar inepenent per a aasuna aquestes. Això permet un posterior tratament (quantifiaió) més senzill i regit per riteris aaptats a moels pereptuals. Sense aquest mòul, una quantifiaió ireta el blo entraa implia l ús un quantifiaor vetorial, més omplex e generar i que ha explotar la orrelaió inherent en les mostres que hi ha ins el blo. Aquesta transformaió ha e ser invertible per a poer regenerar el senyal en el esoifiaor. 45

50 Problema.. Sigui un senyal e veu x(n) amb funió autoorrelaió : i el següent esquema e oifiaió: x m [ m] E[ x( n) x( n m) ]. R 9 en què Registre és un simple registre (o unitat e memòria) una mostra. a) Comenta e quin tipus e oifiaió es trata i esriu-ne la utilitat i el funionament. b) Dissenya, e forma raonaa, el valor òptim el oefiient a que maximitzi la efiiènia el oifiaor. De quin orre seria el guany e preiió? Soluió a) Es trata un oifiaor DPCM (Differential Pulse Coe Moulation) amb un preitor lineal un úni oefiient a. La funió e la oifiaió DPCM es basa a oifiar úniament la part no preitible el senyal e veu, extraient-ne prèviament les omponents que es poen regenerar amb un senzill filtratge e l error e preiió quantifiat en el reeptor. L extraió e la part preitible abans e realitzar la quantifiaió i posterior onversió a una seqüènia e bits permet reuir el marge inàmi (l error e preiió tinrà un marge inàmi i una potènia inferiors al senyal original) i fer que el quantifiaor pugui treballar amb menys bits per mostra mantenint la mateixa qualitat (o relaió senyal a soroll e quantifiaió) o bé treballar amb la mateixa resoluió permetent un augment e qualitat apreiable respete e la oifiaió PCM (e fins a 6-8 B més e qualitat). Això signifia que per a una mateixa qualitat el senyal reonstruït, el oifiaor DPCM pot arribar a estalviar fins a bit per mostra respete el oifiaor PCM, per tant la utilitat el oifiaor DPCM és la e omprimir més la font respete un format senzill om és el PCM (mostratge quantifiaió uniforme). L esquema e la preiió lineal i la posterior reonstruió, en el reeptor, a partir e l error e preiió seria el següent: 46

51 Preiió Reonstruió x[] n z - xˆ [] n e[ n] e ~ [ n] z - x~ [] n x[ n ] Pre Pre No obstant això, en una oifiaió DPCM l error e preiió e[n] passa pel proés e quantifiaió (onant llo a e~ [] n ), fet pel qual el sistema e reonstruió no treballaria amb el mateix senyal per a realitzar la preiió lineal que utilitza el sistema oifiaor. Per aquest motiu, l esquema el oifiaor DPCM és el que es mostra en l enuniat, en què el oifiaor inorpora el preitor que fa servir l error e preiió ~ quantifiat i retarat [ n ] per a fer la preiió e la mostra atual a l entraa. Per tant, el senyal esoifiat en el reeptor es generaria amb la mateixa part el oifiaor maraa en línia isontínua en el següent iagrama, la qual osa mostra que realment tots os sistemes (oifiaor i esoifiaor) treballen amb el mateix senyal per a reonstruir el senyal, i això garanteix que el mateix oifiaor permet ontrolar l error en el proés e reonstruió. És a ir, la preiió es realitza en base al senyal reonstruït i no en base al senyal entraa x[n]. b) La funió e ost a optimitzar és la següent, prenent el iagrama el preitor lineal e la primer a figura e l apartat a), en què l error e preiió és la iferènia entre el senyal entraa x[n] i la preiió en base a la mostra anterior ax[n-]: J [ ] [ [ ] [ ] [ ] a x [ n ] [ ] [][ ] [ ] R [] ar [] a R [] ( a) E ( x[] n ax[ n ] ) E x n ax n x n E x [] n ae[ x n x n ] a E x [ n ] El valor òptim e a és aquell que permet minimitzar la potènia e l error e preiió, per tant: ( a) J a x [ ] [] Rx.9 Rx[] arx[ ] a.9 opt R x x x 47

52 El guany e preiió no és més que la relaió e potènies entre el senyal entraa i l error e preiió. Primer hem e alular la potènia e l error e preiió, una vegaa s ha optimitzat el valor e a: J ( a) R [] a R [] a R [ ] min x opt x opt x Per tant el guany e preiió és: [ x [] n ] [] n [ ] [ ] E R Gp B E e J.9 x ( a ) opt Problema.. Explia els aspetes més rellevants que arateritzen les tèniques e oifiaió per a fonts analògiques següents, fent espeial èmfasi en el tipus e senyals més aients, en el iagrama e blos, i en les filosofies que fan servir per tal e ontrolar l error e oifiaió en aa as: a) CELP b) MPEG Layers i (anal e àuio úniament) Soluió a) La tènia CELP o Coeboo-Exite Linear Preitive Coing és un exemple e oifiaor LPC (o basats en preiió lineal) per a la oifiaió e senyals e veu o parla, i que realitza la oifiaió amb la filosofia anomenaa synthesis by analysis. Aquesta tènia oifia l error e preiió tot ontrolant-lo apliant una funió e poneraió pereptual, aonseguint així tenir un ontrol aquest error i evitant que subjetivament no afeti e forma substanial el senyal reonstruït en el esoifiaor, tal om es mostra en la figura següent: 48

53 El oifiaor CELP realitza una preiió lineal en ues etapes: i) una preiió a urt termini, amb un estimaor lineal e oefiients aa mseg, que s enarrega eliminar la reunània egua a les ressonànies el trate voal (formants); ii) una preiió a llarg termini, que aptura la perioiitat intrínsea a ausa e la vibraió e les ores voals, i permet e quantifiar el senyal exitaió e l etapa anterior amb iversos iionaris (oeboo). Tal om es veu en la figura següent, en la reonstruió el senyal exitaió es pot apreiar la brana que reonstrueix la part més sorollosa (superior) i la que genera la part pseuo-periòia (inferior), aquesta arrera basaa en un retar i un guany e realimentaió variables. Finalment l exitaió reonstruïa es passa a través el filtre invers e preiió a urt termini, que emula el trate voal e la veu. b) La oifiaió e àuio MPEG Layers i està enfoaa a la oifiaió e senyal àuio en general, espeialment per a músia. Aquest estànar permet assolir un bon ompromís entre taxa e ompressió i preservaió e la qualitat subjetiva e la reonstruió gràies a la inorporaió un moel e perepió humana alhora e eiir els paràmetres a oifiar. El moel permet e alular el llinar e perepió auitiva humà en temps real, per tal e oifiar amb més o menys resoluió les banes freqüenials el senyal entraa. En la figura següent es mostra un exemple amb os tons purs, en què es veu om la funió llinar emmasara la perepió el to e menys potènia (i major freqüènia), permetent no haver enviar les aes aquest segon to. 49

54 Com es pot veure en el següent iagrama e blos, el oifiaor realitza una quantifiaió e les 3 banes freqüenials, e forma inàmia, a partir e la informaió failitaa pel llinar emmasarament (alulat a partir una anàlisi espetral el senyal). El sistema e reonstruió utilitza la informaió enviaa per a reonstruir els marges i passos e quantifiaió usats en el oifiaor. La iea és que el oifiaor envia, per a aa bana freqüenial i aa trama temporal anàlisi, un nombre e bits que és proporional a la iferènia e potènies entre el senyal i el llinar e perepió alulat. RESUM En aquesta primera sessió s ha proposat un ompeni e problemes sobre el apítol e oifiaió e font, tant per a fonts isretes om per a fonts analògiques. 5

55 SESSÓ : Coifiaió e anal FTXA DE LA SESSÓ Nom: Coifiaió e anal Tipus: problemes Format: no presenial Duraa: hores Treball a lliurar: no Material: o Bibliografia bàsia: [Slar] [Proais] [Sooro8] OBJECTUS En aquesta sessió es proposa una ol leió e problemes resolts sobre el tema e la oifiaió e anal. CONTNGUTS A ontinuaió es mostren els problemes sobre oifiaió e anal. En els asos en què un problema estigui assoiat a la guia estui e l assignatura s inia just abans e l enuniat amb la referènia orresponent en la mateixa guia.. Coifiaió e anal. Cois lineals e blo Problema.. Explia la filosofia utilitzaa en els ois e blo lineals, tot ontestant a les següents qüestions: Per què s anomenen ois e blo lineals? Quins són els paràmetres que els efineixen? Què és la istània mínima el oi? Quina és la màxima apaitat e orreió? En què es fonamenta la seva apaitat e orreió? Com es poen etetar i orregir els errors? Què és i quina imensió té una sínrome? Quina omplexitat té la orreió basaa en sínromes? Soluió Els ois e blo lineals són una eina per a la proteió e la informaió binària avant errors. El nom e oi e blo és egut al fet que es basen en afegir a aa blo e bits e la font n- bits e reunània (en la oifiaió sistemàtia), e manera que el blo oifiat aaba tenint n bits. A iferènia e la resta e ois e blo, els ois e blo lineals ompleixen la propietat e linealitat: una ombinaió lineal e paraules 5

56 informaió proueix om a paraula oifiaa la mateixa ombinaió e les respetives paraules oifiaes. Els paràmetres que efineixen un oi e blo lineal són:, n i G (que és la matriu generaora el oi, e imensions n, i que permet alular la paraula oifiaa una paraula informaió). En un oi sistemàti aquesta matriu té la estrutura el tipus G [ P ] o G [ P], en què Pés la part e paritat (e ( n ) ) i és una matriu ientitat e que permet repliar la informaió original a la paraula oifiaa (a l esquerra o a la reta e la paraula oifiaa, epenent e l opió esollia). La istània mínima el oi (o min ) és la mínima istània amming entre ues paraules qualssevol el oi (iferents, això si). La apaitat màxima e orreió un oi (t o màxim número errors que es poen prouir en una paraula oifiaa perquè el esoifiaor pugui orregir tots els errors) epèn iretament aquest paràmetre i es pot expressar om: t min La apaitat e orreió el oi es fonamenta en la propietat e istaniament e les paraules oifiaes. És a ir, iniialment, les paraules e bits e la font poen ser qualsevol ombinaió e les possibles. Mentre que la sortia el oifiaor només permet paraules e les n possibles amb els n bits e sortia. Per tant, el oifiaor seleiona aquell onjunt e paraules màximament istaniaes entre elles per què, si es proueixen t o menys errors en una paraula, el esoifiaor pugui eiir quina era la paraula original per omparaió e istànies (eiirà aquella paraula el oi amb istània amming mínima respete e la paraula rebua). La esoifiaió, per tant implia un proés e omparaió que pot ser molt omplex. Si es fa una era exhaustiva ins e totes les possibles paraules el oi això representa omparaions per aa paraula rebua. Per tal e simplifiar aquest proés, els ois e blo lineals poen optimitzar el proeiment e esoifiaió mitjançant el àlul e la sínrome e la paraula rebua. Les propietats e la matriu e T T verifiaió e paritat [ P ] o [ P ] (epenent el as esollit) asseguren que G T, per tant, si r és una paraula rebua (vetor fila e n omponents) aleshores la sínrome és: T T T T T ( v e) v e e s r en què v Gés la paraula oifiaa abans e la transmissió, és la paraula informaió i e és el patró errors (vetor e n omponents amb un als bits en què hi ha error). Aquesta arrera equaió iu que el vetor sínrome s (e n- omponents) és una funió ireta el patró error. Si el oi és apaç e orregir t errors, és ben segur que els patrons error e amb o menys s onaran om a resultat sínromes s iferents. Per tant, si el esoifiaor té prealulaes les sínromes assoiaes als patrons error que es poen orregir, aa nova paraula rebua pot ser ràpiament orregia alulant-ne primer la sínrome i busant ins aquesta memòria el patró error orresponent. Això permet aelerar la esoifiaió respete el mètoe e 5

57 era exhaustiva. Si la taula assignaió e sínromes a patrons error s orena per les sínromes, la omplexitat el esoifiaor serà una senzilla inexaió a una taula, més la orreió els bits erronis tot invertint-los allà en què el patró error té s. Problema.. En el isseny un sistema e omuniaions es requereix un sistema e oifiaió e blo (que sigui lineal) amb paràmetres i n 5: a) Dissenya les paraules el oi (oeboo) i un onjunt e vetors generaors que permetin implementar la oifiaió sistemàtia tal que es maximitzi la istània mínima el oi. Quina és la apaitat e orreió el oi? b) Amb el isseny e l apartat anterior, expressa la matriu generaora i la matriu e verifiaió e la paritat. Explia amb un exemple om treballaria un esoifiaor ML aquest oi basant-se en la sínrome. ) Calula e forma aproximaa (i justifia n el àlul) la probabilitat e esoifiar una paraula erròniament si es transmet la informaió oifiaa a través un anal binari i simètri (BSC) amb una probabilitat e transiió e p. Comenta altres utilitats e la oifiaió e anal que no siguin la millora e la fiabilitat e la transmissió. Soluió a) El oi estarà format per 4 paraules e n5 bits. En tratar-se un oi lineal e blo, aquest haurà e tenir la paraula [ ], un parell e generaors el oi g i g, i igualment una 4a paraula que sigui ombinaió lineal g g. Per tal que el oi sistemàti (p.ex:informaió a la part alta el missatge oifiat), els últims bits e g i g han e ser [ ] i [ ] respetivament, per tant: CODEBOOK a b g e f g e h i g g g a ; h b e; i f Per aabar, s ha intentar maximitzar la istània mínima, que en un oi lineal és el pes amming e la paraula e pes amming mínim i que és iferent e. En tratarse un oi (5,), ues ombinaions qualssevol no poen estar separaes més e n - 4 bits, que seria la ota màxima e la istània lliure. No obstant això, aquest as és impossible si el oi és lineal, ja que aleshores a b e f (per tal que w ( g ) w ( g ) 4 ) però aleshores g h i, i per tant ( g g ) w. Per tant, la màxima MN 3, que es pot aonseguir, per exemple, amb a b f i e g i ; h : 53

58 54 CODEBOOK Per tant: { } { } 5 bits permet orregir aa oi que el Número e bits bit 3, MN CODEBOOK n t u u w MN i i MN b) La matriu generaora la obtenim a partir els ois g i g : { g g G P 443 Per tant, la matriu e verifiaió e veritat és: [ ] T n P Exemple e esoifiaió ML basaa en sínrome: Suposem que es transmet el missatge: [ ] [ ] G m u m i el anal provoa un error en el n bit: [ ] [ ] { error e u r En el reeptor es alularia la sínrome s a r segons: [ ] [ ] T r s Una vegaa alulat s, es busaria el patró error més probable ê assoiat a s mitjançant la era a una taula prealulaa ( ) s e T ˆ. En aquest as la taula

59 retornaria T ([ ] ) [ ] eˆ, ja que aquesta taula es formaria T n alulant les sínromes que satisfan s e assoiats als patrons error més probables (amb menys s): T [ ] [ ] Finalment es orregiria la paraula rebua: u ˆ r eˆ [ ] [ ] [ ] u ) La probabilitat e esoifiar una paraula erròniament és igual a la probabilitat que el anal provoqui més e t error, suposant que el esoifiaor mapeja només les sínromes assoiaes als patrons errors amb error (5 els 7 possibles patrons amb error). Aquesta probabilitat es pot expressar om: p n e per ois j t perfetes Com p, poem aproximar: n t nt 5 pe p p p t n j ( p) n j j p probabilitat que en el anal es proueixi un patró 'error DETERMNAT e "j" errors probabilitat que en el anal es proueixi algun patró 'error amb "j" errors 5! 3!! ( ) ( p) ( ) ( ) 9.7 La oifiaió e anal pot usar-se, a més e per millorar la fiabilitat una transmissió igital, per: o Disminuir la potènia e transmissió sense egraar la fiabilitat (BERonstant) o Augmentar l amplaa e bana (veloitat e Tx) sense egraar la fiabilitat o Augmentar la apaitat un anal (p. ex. CDMA) sense egraar la fiabilitat Problema..3 Sigui un oi e blo lineal amb un alfabet e paraules V tal om: V {[ ][, ][, ][, ], [ ], [ ], [ ][, ]} a) Comprova, amb un exemple, si el oi és lineal. b) Calula la istània mínima i la màxima apaitat e orreió el oi. ) Dóna la matriu generaora G si es vol que el mapat v i MAP ( i ) efineixi un oi sistemàti en què els tres primers bits e la paraula oifiaa siguin els informaió. ) Explia om funiona, en aquest exemple, la esoifiaió ML per sínrome i r. posa l exemple si es rep la paraula [ ] 55

60 Soluió a) Un oi lineal és aquell que ompleix que la suma OR-exlusiva (bit a bit) e ues paraules qualssevol el oi óna una altra paraula també el oi. Comprovem-ho amb la segona i la terera: [ ] [ ] [ ] Com es pot apreiar, el resultat és la quarta paraula el oi, osa que orrobora la propietat e linealitat. No obstant això, per emostrar la linealitat alria omprovar-ho amb qualsevol ombinaió e ues paraules. b) La istània mínima un oi lineal es pot alula om el pes ammimg e la paraula iferent e zero amb pes amming mínim: MN { w( v )} [ ] 4 MN w La apaitat e orreió el oi és: MN i 3 t bits orregits e aa n bits oifiats ) En haver 8 paraules el oi, el nombre e bits informaió per aa paraula el oi és 3 per aa n 7 bits e la paraula oifiaa. Per tal que sigui un oi sistemàti i que els bits informaió estiguin a la part esquerra e la paraula oifiaa, els primers 3 bits han e orresponre als bits informaió, mentre que els n - 4 restants són bits e reunània. La matriu generaora té, en aquest as, per files, les paraules oifiaes orresponents a la base anònia, per tant: Poem afirmar que els vetors g G g M P 3 3 g 3 g, g i [ M ] 3 4 g formen una base el subespai el oi. 3 Cal ir que si es volgués que els bits informaió fossin els e la reta aleshores alria fer servir 3 paraules generaores que formin la base anònia per olumnes a la part reta e la matriu generaora. ) La esoifiaió ML per sínrome persegueix el poer esxifrar el patró error e la omuniaió tot aprofitant la propietat ortogonalitat entre les matrius generaora T G i e paritat transposaa. L ús aquesta propietat es fa projetant la paraula rebua sobre el subespai ortogonal, e manera que el vetor resultant, anomenat sínrome, és funió ireta el patró error. La esoifiaió s assoleix gràies al previ mapat e quins són les sínromes assoiaes als patrons error orregibles, és a ir, aquells amb t o menys errors. En aquest as, en ser t i n 7 només al onsierar els 7 patrons error orresponents a un error en un sol bit. Calulem, primer la matriu e verifiaió e paritat: 56

61 T P L 4 4 L Calulem les sínromes orresponents als patrons error orregibles i generem la taula: e s s i e El proeiment el esoifiaor és el següent: i T i [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i.- Es rep el vetor n bits: r [ r, r, r3, r4, r5, r6, r7 ] [ ] T ii.- Es alula la sínrome: s r [ ] iii.- S inexa en la taula segons la sínrome obtingua i s obté el patró error: eˆ Taula s { } [ ] NOTA: Si la sínrome és tota zeros, es pressuposa que no hi ha hagut ap error, ja que la paraula rebua és una paraula legal (pertany al oi) i aquesta és la hipòtesi més probable. v ˆ [ ] iv.- Es orregeix l error: ˆ r e i Problema..4 Una ompanyia telefònia fa servir, per algun els seus serveis e transmissió igital, un sistema e oifiaió errors basat en el prinipi el millor e in. En aquest sistema, aa bit és transmès 5 vegaes e forma onseutiva, i el reeptor eieix el bit enviat eiint per vot majoritari (el bit que més apareix en la trama e 5 bits orresponent). Calula la probabilitat error esprés e la esoifiaió si la probabilitat error el anal és e -3. Soluió La soluió es basa a alular les possibles transmissions rebues que puguin ser inorretes: si s envia el missatge repetit 5 vegaes i, a la reepió, es etermina el 57

62 valor el missatge om la majoria e valors iguals, hem e tenir en ompte que si es reben 3 o més bits e valor ontrari e l enviat, hi haurà error en la reepió el missatge. TX Consierant que el transmissor envia un missatge m tal que oifiat quea om u: m {, } el missatge oifiat u [ m m m m m] m G m[ ] equivalent a tenir el proute el missatge i una matriu generaora, G, amb tot s. RX El reeptor rep el missatge u amb un patró e soroll e: r u e sent e [ e e e e ] 3 4 e5 Sabent que la probabilitat e rebre un error és e -3 : ( e ) p ( e ) p p i p i en què p 3 Llavors, per què hi hagi error a la reepió, s ha e omplir que hi hagi més e e i en el patró error. Així alulem la probabilitat error esprés e esoifiar usant la següent aproximaió: P err 5 j p 5 j 3 j 5 j 5 j 9 ( p) 5.99 Problema..5 El següent iagrama e blos representa un oifiaor assoiat a un oi e blo: m m m 3 m 4 u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 58

63 a) Demostra que la apaitat e orreió el oi és e t bit. És un oi perfete? Justifia n la resposta. b) Troba, la matriu e verifiaió e la paritat el oi. ) Dibuixa un iruit esoifiaor que treballi amb la esoifiaió basaa en sínrome i explia n el funionament amb un exemple. Soluió a) Com veiem, es trata un oi lineal e blo e paràmetres (n7, 4). Amb el iruit el oifiaor onstruïm la matriu generaora el oi G e imensions 4 7. Caa olumna aquesta matriu orresponen a les onnexions ( onnetat, esonnetat) els 4 bits entraa que se sumen per onar a llo a un els bits e sortia, per tant: G Amb la matriu generaora poem alular les 4 6 paraules e 7 bits el oi, tot multipliant-la per les 6 possibles ombinaions entraa: u [ u u u u u u u ] [ m m m ]G m m CODEBOOK Per efiniió, la istània mínima un oi lineal e blo és igual al mínim pes amming e la paraula iferent e amb pes amming mínim, per tant: { w { u } w { } 3 min arg min i u Per tant la apaitat e orreió el oi és: i t 3 min Sí que és un oi perfete ja que pot orregir 8 possibles patrons error ( sense error i 7 amb bit erroni), que oinieix exatament amb les possibles sínromes que poem arribar a tenir amb 3 bits e reunània. 59

64 b) Com veiem, és un oi sistemàti, e manera que poem trobar iretament la matriu e verifiaió e la paritat: G T [ P ] [ P ] ) El esoifiaor basat en sínrome té la següent estrutura: T r [r, r, r 3, r 4, r 5, r 6, r 7 ] s [s, s, s 3 ] MAP e ^ [e, e, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 ] El funionament és el següent: La paraula rebua es multiplia per la matriu e verifiaió e paritat T transposaa per alular la sínrome: s r (aquest proute es pot implementar om un sistema ombinaional senzill) Ex: [ ] T s [ ] u ^ [r, r, r 3, r 4, r 5, r 6, r 7 ] El sistema MAP és una memòria assoiativa que mapa la sínrome entraa al patró error més provable. Aquest mapat està prealulat segons l equaió T s e, tat agafant els 8 patrons error més provables que pot orregir el oi. La memòria serà ons: e MAP ( s) s 6

65 Ex: eˆ MAP{ s [ ] } [ ] Correió e la paraula rebua tot sumant-li els bits (un a un) el patró error estimat. Ex: uˆ r eˆ [ ] [ ] [ ] Problema..6 Un blo un oi BC amb paràmetres (63,36) pot orregir 5 errors. Nou blos un oi e amming (7,4) pot orregir 9 errors. a) Demostra que tots os ois tenen la mateixa veloitat i mateixa reunània. b) El oi (7,4) sembla que pot orregir més errors. És, per això, un oi amb major apaitat e orreió? Raona n la resposta. ) Compara els os ois quan es proueixen 5 errors aleatoris en una trama e 63 bits. Soluió n a)per alular la reunània un oi apliquem la següent relaió: Re Així: Re BC 75% Re amming 75% 4 De forma similar, per alular la veloitat un oi és la relaió entre la longitu el missatge i la e tot el oi: R n Així: 36 R BC R amming b) Analitzem les apaitats e orreió ambós ois: El oi BC pot orregir fins a 5 errors, en qualsevol posiió, en un blo e 63 bits. Calulem el total e possibles asos que pot orregir: error en 63 posiions, errors istribuïts en 63 posiions, 3 errors istribuïts en 63 posiions... fins a 5 errors. Per tant: 6

66 (en la figura es mostra un exemple e patró error que el oi pot orregir: una ràfega e 5 errors seguits) 5 j j Aquestes són els possibles patrons error que el oi és apaç e orregir. El oi e amming, en anvi, ens iuen que pot orregir 9 errors en 9 blos e 7 bits aasun, és a ir, que parlem en total el mateix número e bits (63), però en aquest as, el oi pot orregir error en aa blo e 7. Caa error pot estar en qualsevol e les 7 posiions e aa blo, però no hi pot haver més error per blo Analitzem totes les possibilitats error, omptant es fins a 9 errors. Per fer-ho tenim en ompte, en primer llo, la posiió els j símbols erronis om el número ombinatori (9 sobre j), entenent om a símbol un blo e 7 bits onseutius. En segon llo, una vegaa loalitzats els símbols erronis, omptabilitzem el número e ombinaions possibles els j bits erronis ins aquests j símbols. Tenint en ompte que la longitu els símbols és e 7 bits, i que en aasun els j símbols erronis hi ha 7 possibles posiions error, aquest nombre és e 7 j. 9 j j j Així, el total e ombinaions que aquest oi pot orregir és major que les que pot orregir el oi BC. En prinipi semblaria, ons, que el oi amming té una apaitat e orreió major que el oi BC. És això ert? Si tenim en ompte que generalment un anal e transmissió es basa en un moel BSC (Binary Symmetri Channel) larament irem que NO. Per què? La resposta és que el oi BC lluita ontra menys patrons error (o el que és el mateix, els orregeix) però aquests patrons error són més probables que no pas molts els que orregeix el oi amming. Per exemple, si ens fixem en els patrons error tal que en 63 bits hi ha un sol error, és lar que aquest és un as que tant un om altre oi permeten orregir sense problema. Caasun aquests patrons error tenen una probabilitat e P ( ) 6 p p, sent p la probabilitat e transiió el anal ( ). D altra bana, fixem-nos en el següent paquet e patrons 6

67 error seguint un orre e probabilitat ereixent. Serien tots aquells patrons amb bits erronis en un blo e 63 bits, amb una probabilitat iniviual e 6 P p ( p) < P. En aquest as, el oi BC sí que els orregirà, però en anvi el oi amming només orregirà un subonjunt aquests patrons error (onretament aquells en què els bits erronis es trobin en paquets e 7 bits iferents). En efinitiva, tot i que el oi amming orregeix més patrons error que el oi BC, la probabilitat apariió aquests és molt més baixa que el onjunt e patrons que permet orregir el segon. Això fa que, e mitjana, el oi BC orregeixi més errors que no pas el oi e amming. En la taula següent es mostra, e forma esquemàtia, els possibles patrons error orenats segons la probabilitat apariió. Probabilitat Patró error e e e e3 e en Combinaions amb bit erroni posibles Combinaions posibles amb bits erronis ) Donat el as que es proueixi 5 errors aleatoris en una trama e 63 bits, tinrem que, en el oi BC hi ha un % e probabilitats que els orregeixi (ja que són les espeifiaions e la apaitat e orreió aquest oi). Parlem un els asos que pot resolre. En el oi amming, onaa aquesta aleatorietat, no té aquesta efiàia en la apaitat e orreió, ja que hem e tenir en ompte que o més errors en un blo e 7 bits no els pot orregir. Per tant, malgrat siguin menys errors que es puguin orregir, la apaitat e orreió el oi BC és superior al e amming, en les oniions plantejaes en el problema. 63

68 64 Problema..7 Sigui un esoifiaor e anal basat en el següent iruit: a) Calula les apaitats tant e eteió om e orreió el oi, i troba les seves matrius generaora i e verifiaió e paritat. b) Dibuixa el iruit el sistema oifiaor. ) Si es vol transmetre la paraula missatge [ ] i en el anal es proueix un error en el arrer bit e la paraula oifiaa, etalla el proés e eteió i orreió e l error en aquest as. Pot el oi orregir alguna transmissió en què es proueixin errors? Soluió a) A partir el iruit esoifiaor poem trobar la matriu e verifiaió e la paritat el oi. Per trobar-la expressem els bits e la sínrome a partir els e la paraula rebua: En què veiem que es trata un oi lineal sistemàti, i en què trobem que: [ ] [ ] [ ] 443 T r r r r r r r r r r r r r r r s s s s

69 65 Per trobar la apaitat e orreió i e eteió el oi al primer trobar totes les paraules el oi per alular esprés la istània mínima el oi: Veiem, ons, que el pes amming mínim iferent e zero és igual a 3, el qual poem extraure que 3 és la istània mínima el oi, i per tant, el oi té una apaitat màxima e eteió e 3- errors i una apaitat màxima e orreió e error en una paraula oifiaa e 6 bits. b) Per ibuixar el iruit oifiaor reorrem a les equaions euies en l apartat anterior per tal e trobar la taula el oi i la istània mínima el oi: [ ] [ ] P G P T [ ] [ ] m m m m m m m m m m m m G mg u ( ) / 3 t m m m 3 u u u 3 u 4 u 5 u MAP m u w h

70 ) Coifiquem [ ] segons la taula euïa en l apartat a), onant llo a la paraula oifiaa [ ]. Transmetem aquesta i es rep la paraula [ ]. Apliquem la paraula rebua en el iruit esoifiaor onant llo a la sínrome: [ s s s ] [ r r r r r r r r ] [ ] s r Segons la taula que relaiona sínromes amb possibles patrons error (els un sol bit erroni) veiem que aquest està assoiat al patró error que s ha onat en la omuniaió: s e T [ e e e e e e e e e ] 4 s 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4 e Per tant, veiem que la sínrome [] es orrespòn amb el patró error [] (es pot omprovar també aabant e alular l estimaió el patrò error en el mateix iruit el esoifiaor), e manera que la paraula orregia és [] [] []. Problema..8 Compara la fiabilitat un sistema amb i sense oifiaió e anal. Les espeifiaions el sistema són les següents: - Moulaió BPSK - Veloitat e transmissió informaió: R b 96 bits/s - Canal AWGN, amb relaió e potènia e senyal rebut respete a ensitat espetral e soroll P s /N 6 - Desoifiaió ar, basaa en un oi (5,) amb apaitat e orreió t bit. Basat, per fer la omparativa entre els os sistemes, en la probabilitat que es proueixi un o més errors en un blo informaió e la mateixa granària. AJUDA: x BER E b Q x e BPSK N x π per x > 3 66

71 Soluió Calulem, en primer llo, la probabilitat error el anal en el as e no fer servir oifiaió e anal. En aquest as, alulem la relaió E b /N a partir e la veloitat e senyalitzaió e 96 baus i larelaió e potènia a ensitat espetral onaa per l enuniat: E N b Ps N BER Q R b ( 7.96 B) ( 6.5) Q( 3.54) e.8 p 3.54 A ontinuaió alulem la probabilitat e tenir algun error en una paraula bits onseutius ( blo el oi) per tal e poer fer la omparativa amb el sistema amb oifiaió e anal: π ( ). 4 P senseco Blo bits 4 p 43 Prob.que no hi hagi ap error en el blo Ara passem a realitzar els àluls amb el sistema e orreió errors onat en l enuniat. En aquest as al tenir en ompte que en ser un oi (5,) hi ha un augment e la veloitat e senyalitzaió ja que es vol mantenir la veloitat e transmissió informaió a 96 bps, e manera que es transmet a 96 (5/) 3.9 baus. Tenint en ompte aquesta nova veloitat poem realular la probabilitat e transiió el anal (que serà major, ja que la uraa els símbols és menor i, per tant, tenen menys energia respete el soroll): Eb ' Ps N N BER' Q ( 6.6B) R ' 3.9 b ( ) ( ) Q 3.8 e.3 p' > p!!! 3.8 Segons la apaitat e orreió el oi, poem alular la nova probabilitat que hi hagi un blo bits informaió amb algun error: P ambco Blobits π 5 sense Co j 4 4 PBlo bits 5 p' j j 5 j 5 ( p' ) ( p' ) 5p' ( p' ) 443 Prob.que no hi hagi aperror en el blo Prob.que hi hagi un sol error en el blo Per tant hi ha hagut un guany un orre e magnitu en fiabilitat respete el sistema sense orreió errors. 3 67

72 Problema..9 Siguin els os ois e blo A i B següents formats per quatre paraules e 8 bits aasun ells, e manera que s assignen els ois e sortia per orre orrelatiu (e alt a baix) a les ombinaions entraa orenaes e forma binària {,,,}: Coi A: Coi B: a) Calula els 3 bits ineterminats (marats om el símbol X) e la quarta paraula el oi A per tal que aquest sigui lineal. Determina i ibuixa un iagrama que implementi el oifiaor e manera que aquest sigui sistemàti. b) Calula les apaitats màximes e orreió i eteió errors el oi A i issenya un iruit que implementi el esoifiaor e màxima versemblança, si el oi s usa úniament per orregir fins a bit. Quants bits erronis permetrà etetar en aquest as? ) Disuteix si el oi B és un oi e blo lineal, i ompara les apaitats e eteió i e orreió els os ois A i B. mplementa i ibuixa el iagrama e blos el oifiaor B. Disuteix els possibles avantatges que pot representar l ús un oifiaor enfront e l altre (oifiaor A o oifiaor B). ) Explia tot el proés e esoifiaió si es transmet la paraula, i es proueix un error en el arrer bit e la paraula oifiaa, per aasun els ois anteriors. Es emana que realitzeu tots els àluls neessaris que realitzarien els sistemes e oifiaió e anal per arribar a la paraula orregia e sortia el esoifiaor. Soluió a) Veiem que hi ha quatre paraules, per tant, el número e bits entraa és. Per tal que el oi sigui lineal, aquest s ha e poer generar amb una ombinaió lineal e generaors. Com veiem, ientifiquem en el oi A os generaors, larament, en ser ombinaions linealment inepenents (és a ir, iferents en el as binari). Aquestes són les ombinaions e la segona i terera fila (g [] i g []). La primera fila és la ombinaió assoiaa a la ombinaió g g mentre que la quarta fila s ha e orresponre amb la ombinaió suma, per tant: Per tant, les tres X són zeros. g g Veiem que és un oi sistemàti, en ientifiar les paraules entraa a la part alta (reta) e les paraules e sortia. Per tant, la matriu generaora e la versió sistemàtia aquest oi serà: 68

73 g g El iruit generaor, per tant, realitzarà el àlul els 6 bits e paritat a partir e l equaió:,,,,,,,, Ciruit oifiaor m m u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 b) Quant al esoifiaor, omenem per eterminar la apaitat e orreió i e eteió. Veiem que la istània mínima ( min ) el oi és igual a 5, ja que és el pes amming (núm. e s) e la paraula amb pes amming mínim i iferent e zero. Per tant és un oi amb apaitat e orreió e fins a / 5 / errors, mentre que la apaitat màxima e eteió és e 5 4 errors. Com ens iuen, al veure om funiona el esoifiaor ML que fai ús només e orreió e fins a sol bit erroni, mentre que es etetin els asos e fins a 4 errors. Per tant, només alrà realitzar una taula que fai orresponre sínromes i patrons error e fins a 9 entraes (as sense errors i 8 asos amb errors en un sol bit). La resta e asos possibles, onat que la sínrome tinrà n 8 6 bits, seran asos amb sínrome iferent e zero que el esoifiaor úniament iniarà om a avís errors. Per generar la taula esmentaa partim e l equaió:,,,,,,, 69

74 Les sínromes assoiaes als patrons error amb un sol bit erroni es poen llegir iretament om a files e la matriu T, per tant la orresponènia entre patrons error i sínromes per al funionament el esoifiaor seria la següent: Estat Canal Sínrome s Patró error e No error [] () [] Error en el bit [] (3) [] Error en el bit [] (6) [] Error en el bit 3 [] (8) [] Error en el bit 4 [] (4) [] Error en el bit 5 [] () [] Error en el bit 6 [] () [] Error en el bit 7 [] (5) [] Error en el bit 8 [] (3) [] Error Altres? La arrera fila es orrespon amb la eteió errors, sense habilitar la possibilitat e orregir-los, i es onarà sempre que la sínrome alulaa sigui iferent e les ombinaions onaes a les altres files. Segons tot això poem ja realitzar el isseny el iruit esoifiaor, tenint present l equaió anterior el àlul e la sínrome a partir e la paraula rebua, implementant aa bit el patró error estimat a partir e la sínrome ( iruit ombinaional per aa bit en funió els 6 bits e la sínrome) i moifiant els bits erronis e la paraula rebua quan es oni el as. Cal tenir present que, onat que els 8 bits rebuts només n hi ha os informaió (els os més alts), no al ontemplar totes les ombinaions e la taula anterior, ja que només interessa orregir els asos que en què algun els os bits més alts tinguin error. En la figura següent es mostra el iagrama e blos omplet el iruit esoifiaor, en què el iruit ombinaional que estima la variable Error que inia la eteió e més un error s ha implementat amb l ajua un iruit esoifiaor e binari a eimal. Si la sínrome alulaa no és ap e les ombinaions e la taula anterior (9 primeres files, orresponents al nombres eimals,,, 4, 8, 5, 6, 3, o 6), aleshores és quan s ativa aquesta variable, que ens iniarà que no s ha pogut realitzar la orreió els possibles errors que afetarien els bits informaió. 7

75 r r r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 r 8 s s s 3 s 4 Desoifiaor Error s 5... s ) Com poem apreiar el oi B no és un oi lineal, ja que es pot realitzar una senzilla omprovaió, om que la suma bit a bit e les ues primeres files o ombinaions e la taula óna llo a la ombinaió [] [] [], que no és una ombinaió legal el oi, així que no es ompleix la propietat e linealitat. Això també es pot apreiar iretament en veure que el oi no té la ombinaió tot zeros []. Per alular les apaitats e orreió i eteió aquest oi, ja no poem realitzar el àlul e la istània mínima om el pes amming mínim e la paraula amb el mínim nombre e uns exepte la ombinaió tot zeros, ja que aquest àlul és només vàli quan el oi és lineal. En aquest as, al realitzar el àlul e la istània mínima observant la istània amming menor entre ues paraules qualsevol el oi, tal om es mostra a la següent taula: [] [] [] [] [] [] [] 5 6 [] Com es pot observar, exepte les istànies e, assoiaes a omparar una paraula amb ella mateixa, la resta mai óna un nombre menor que 5, per tant, la istània mínima és min 5, igual que en el as el oi lineal A. Això fa que, en realitat, tots os ois A i B es omportin e la mateixa forma quant a apaitat per etetar i/o orregir errors. No obstant això, la iferènia prinipal entre els ois A i B rau preisament en la propietat e linealitat, que es ompleix pel oi A i no es ompleix pel oi B. Com hem vist en l apartat a, el oifiaor el oi A es pot implementar a partir una ombinaió lineal entre os generaors, en anvi, en aquest as el oi B, això no 7

76 serà possible, i per tant ens obligarà a realitzar un sistema que implementi la orresponènia entre ombinaions entraa i e sortia e forma menys òptima (amb major ost omputaional o portes lògiques). Per issenyar aquesta orresponènia presentem la taula e orresponènies i implementem els iruits ombinaionals: Entraa [m m ] Sortia [u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 ] [] [] [] [] [] [] [] [] S ha optat per realitzar la realitzaió mitjançant una esoifiaor binari a eimal i portes OR, tal om es mostra: m m Desoifiaor 3 u u u 3 u 4 u 5 u 6 Com es pot apreiar, la omplexitat el iruit oifiaor el oi B és superior a la el oi A, fet que justifia sobraament l ús el oi A enllo el B. i hauria altres possibilitats implementaió el oifiaor el oi B, però ap tinria la omplexitat el oi A, que és e una únia porta XOR (suma mòul ). ) Coi A: A partir el missatge m [] es alulen els 6 bits e paritat usant el iruit oifiaor e l apartat a, onant llo a la paraula oifiaa u []. El anal proueix l error onant llo a la paraula rebua r []. A partir aquesta, el iruit esoifiaor e l apartat a óna llo a la sínrome:,,,,,,,,,,,, (6) 7

77 Per tant, la sortia el iruit esoifiaor óna, i Error, la qual osa inia que hi hagut error en el bit 8è, per tant,,. Per tant, el bit erroni informaió quea orretament orregit i no hi ha ap iniaió que hi hagi hagut errors esoneguts (eteió). Coi B: Comenem per apliar el iruit oifiaor e l apartat b, fent que l entraa m [] oni llo a ativaió e la sortia i la esativaió e la resta. Això fa que s ativin els bits terer, quart i inquè, onant llo a la paraula u []. El anal proueix l error onant llo a la paraula rebua r []. A partir aquesta, entra en funionament el iruit esoifiaor el oi B. En tratar-se un oi no lineal, la implementaió e la filosofia ML (e màxima versemblança) ens obliga a realitzar la omparaió entre la paraula rebua i aasuna e les quatre paraules el oi, esollint finalment aquella paraula el oi amb istània amming menor. Per tant: r, r, 6 r, 3 r, 7 Com poem veure, la paraula el oi que s aproxima més a la paraula rebua és u, per tant: arg max r, Per tant, els bits informaió que lliura el esoifiaor el oi B seran,.. Cois ílis Problema.. Comenta les prinipals propietats un oi íli. Justifia, amb les propietats enuniaes, om i per què es realitza la oifiaió sistemàtia en un oi íli (només a nivell algebrai, no al que parleu e la implementaió pràtia el oifiaor). Soluió n, és un tipus onret e oi lineal e blo, i es arateritza per les següents propietats: Un oi íli ( ) 73

78 ) Si v [ a a,..., ] és una paraula el oi, aleshores v [ a, a,..., a a ] a n, també ho és. En general, qualsevol esplaçament íli una paraula el oi óna llo a una altra paraula el oi. 3 n, ) g ( X ) és el polinomi generaor el oi, e grau n i oefiients g g i la resta g {, } per i,,..., n, e manera que ( n ) i qualsevol paraula expressaa en forma e polinomi es pot expressar om v ( X ) a( X ) g( X ) o, el que és el mateix, la ivisió e polinomis v ( X )/ g( X ) té om a resta. 3) g ( X ) és un fator e ( X n )/ g( X ) és igual a. n X, o la resta e la ivisió e polinomis CODFCACÓ ALGEBRACA PER A UN COD CÍCLC SSTEMÀTC: Si ( ) ( ) paraula oifiaa e forma sistemàtia és ( X ) v v X v X ( ) ( ) m X m m X m X K m X és el polinomi assoiat al missatge, la es pot alulat e la següent forma: Demostraió: ( X ) v ( n ) ( X ) p( X ) X m( X ) a on p( X ) ( n) v K v n X, i X Reste ( n ) m( X ) g( X ) p és un polinomi e paritat e grau n, e manera que l anterior expressió eixa lar que primer hi ha la part e paritat i esprés la part sistemàtia o informaió. La oifiaió ha e garantir la propietat (), ja que aquesta forma es omplirà la propietat ília el oi. Observem que la paraula oifiaa v ( X ) ompleix la propietat (), ja que: ( n ) ( n ) v( X ) p( X ) ( ) ( ) ( ) Reste Reste Reste Reste ( ) ( ) X m X X m X ( ) p X ( ) g X g X g X g X en què la segona igualtat es emostra pel fet que p ( X ) és un grau menor que ( X ) g. Problema.. Determina quin els següents polinomis pot generar un oi íli amb longitus e paraula oifiaa n < 7. Troba, en els asos que sigui possible, els valors e (n,) aquests ois. 3 4 a) x x 4 b) x x 3 ) x x x ) x x x 3 5 e) x x

79 Soluió Per què un polinomi sigui generaor un oi íli ha e omplir la oniió que el n polinomi x sigui un proute el polinomi generaor i un altre polinomi ( això és n equivalent a ir que aquest polinomi generaor sigui fator e x ): x n g( x) h( x) x n amb el qual alularem que la resta e h( x) g( x) sigui. 3 a) x x 4 Com la longitu e la paraula oifiaa és n < 7, farem les ivisions e polinomis amb n 6: x x x 6 5 x x x x x 5 x x x 5 x 4 x 4 x x x 4 3 x x x 3 x x El resta no és, per tant no és ivisible. Provem la ivisió amb un polinomi e grau menor x x x x x 4 x x 4 x x 4 3 x x 3 x x 5 El reste no és, per tant no és ivisible. Provem la ivisió amb un polinomi e grau menor El resta e la ivisió el polinomi x 4 ja veiem que tampo és. Per tant, aquest polinomi no és generaor un oi íli. 4 b) x x x 6 4 x x 6 4 x x x x 4 x x 4 x x El reste és, per tant si que és ivisible. 75

80 ( ) x 6 4 h x, per tant es ompleix que: x ( x x )( x ) El polinomi g(x) té grau n-, el qual obtenim: n 4 n 6 Per tant, aquest polinomi pot generar el oi íli (6,). 3 ) x x x 4 x 6 4 x 3 x x x x x x x x 5 3 x x x 5 4 x x x x 4 3 x x x 4 3 x x x El reste és, per tant és ivisible. 6 h ( x) x x, per tant es ompleix que: x 4 ( x 3 x x )( x x ) El polinomi g(x) té grau n-, el qual obtenim: n 4 n 6 Per tant, aquest polinomi pot generar el oi íli (6,). ) x x x x x x x x x x x x 4 3 x x x 4 x x x 3 x x El resta no és, per tant no és ivisible. Provem la ivisió amb un polinomi e grau menor. 5 4 x x x x 5 3 x x x x x 3 x x x El resta no és, per tant no és ivisible. Provem la ivisió amb un polinomi e grau menor. 76

81 El resta e la ivisió el polinomi x 4 ja veiem que tampo és. Per tant, aquest polinomi no és generaor un oi íli. 3 e) x x x x x x 6 x 4 x x 4 x x El resta no és, per tant no és ivisible. Provem la ivisió amb un polinomi e grau menor. El resta e la ivisió el polinomi x 5 ja veiem que tampo és. Per tant, aquest polinomi no és generaor un oi íli. Problema..3 El següent iagrama e blos representa un oifiaor íli i sistemàti amb paràmetres (7,4): SW i(x) Z - Z - Z - SW v(x) a) Explia les prinipals propietats els ois ílis i esriu amb un exemple el funionament aquest oifiaor. Quin és el polinomi generaor el oi? Quina propietat aquest polinomi permet assegurar les araterístiques espeífiques el oi? Per què? b) Calula la apaitat e orreió el oi. ) Dibuixa el iagrama e blos el esoifiaor basat en sínrome (amb el mateix nivell e etall que el oifiaor). ) Sigui el missatge, alula la paraula oifiaa. Suposa que en la transmissió es proueix un error a l últim bit. Calula la sínrome e la paraula rebua i explia om el esoifiaor pot etetar i orregir el bit orrupte. 77

82 Soluió n, és un tipus onret e oi lineal e blo, i es arateritza per les següents propietats: Si v [ a, a,..., a n ] és una paraula el oi, aleshores v [ a, a3,..., an, a ] també ho és. En general, qualsevol esplaçament íli una paraula el oi óna llo a una altra paraula el oi. g ( X ) és el polinomi generaor el oi, e grau n i oefiients g g( n ) i la resta g i {, } per i,,..., n, e manera que qualsevol paraula expressaa en forma e polinomi es pot expressar om v ( X ) a( X ) g( X ) o, el que és el mateix, la ivisió e polinomis v ( X )/ g( X ) té om a resta. a) Un oi íli ( ) g ( X ) és un fator e ( X n )/ g( X ) és igual a. n X, o la resta e la ivisió e polinomis En vista el iagrama e blos e l enuniat aquest oi té el següent polinomi generaor: 3 ( X ) X X g La prinipal propietat aquest polinomi és la 3a esmentaa anteriorment, en què n 7, i garanteix la propietat ília el oi. Per a emostrar-ho, al agafar una paraula qualsevol el oi, que en notaió polinomial seria u ( X ) g( X ) m( X ), i provoar un esplaçament íli ap a la reta, la qual osa pot emostrar que és equivalent a alular: ( X ) Xu u '( X ) reste u n ' X en què q(x) és el quoient e la ivisió. n ( X ) Xu( X ) q( X )( X ) D altra bana, per aabar la emostraió al assegurar que la paraula esplaçaa e forma ília pertany al oi, és a ir, que al realitzar-ne la ivisió per g(x) la resta és zero: u' g ( X ) ( X ) Xu g ( X ) ( X ) q n ( X )( X ) g ( X ) Xm X ( ) q( X ) a( X ) en què la última igualtat es sustenta en la 3a propietat esmentaa al prinipi. Per tant, quea lar que la resta serà zero i, en efinitiva, es omplirà la propietat ília el oi. El funionament el oifiaor s il lustra amb el següent exemple. Suposant que volem oifiar el missatge []: 78

83 o Durant 4 períoe e rellotge es tana SW i es eixa SW a alt. Mentre va entrant la informaió per aquest orre [,,,] va sortint també ap a fora. En el registre quea finalment la ombinaió []. o Durant 3 períoes e rellotge s obre SW i es posa SW a baix, e manera que surten els 3 bits e paritat per aquest orre [,,]. El missatge final oifiat és ons [] en què els bits han sortit per orre ereixent e pes. m X m la paraula missatge, la paraula oifiaa m X m X m3 X 3 b) Sigui ( ) n 3 sistemàtia es pot alular om u( X ) p( X ) X m( X ) p( X ) X m( X ) n 3 X m ( ) ( X ) X m( X ) p X reste reste 3. g( X ) X X, essent Calulem quatre generaors el oi per a poer alular tot el oeboo el oi. Calulem una paraula oifiaa, per exemple: 3 X m 3 X X 3 ( X ) p ( X ) reste X u( X ) X X [ ] u A ontinuaió generem 3 esplaçaments ílis e la mateixa paraula, per exemple: u u u 3 4 [ ] [ ] [ ] Ara, amb aquests quatre generaors el oi, ja poem generar (ombinant-los linealment) la resta e ombinaions el oi, que es mostren a ontinuaió: CODEBOOK Com es pot apreiar, la ombinaió iferent e amb el mínim número e s té només 3 uns, per tant: min min 3 t Aquest oi permet orregir un úni bit ins e la paraula e 7 bits. ) A ontinuaió es ibuixa el iagrama e blos el esoifiaor basat en sínrome: 79

84 r(x) Z - Z - Z - e(x) s(x) Sínrome Mapat r(x) El funionament es basa a alular la sínrome e la paraula rebua amb el registre realimentat e la part superior i en mapar-lo al patró error més probable (amb mínim número e s) per a fer l estimaió els errors prouïts i poer, així, poer orregir-los. 3 3 X X X 3 X X u X 4 6 X X X. En el as e tenir un error a l últim bit 3 ) [ ] ( ) ( ) ( ) m m X X X p X reste X Per tant, ( ) [ ] rebem [ ]. Si alulem la sínrome: 4 X X s 3 X X ( X ) reste X Observem que aquesta sínrome oinieix amb la resta següent: 6 X s 3 X X ( X ) reste X Per tant, això implia que en el sistema e mapat es ompleix : 6 ( X ) X MAP s( X ) ( X ) e r(x) orregit Per tant, el patró error assoiat a la sínrome alulaa és X 6 que es orrespon amb l error a l últim bit, i que permet orregir, per tant, l error prouït. 8

85 Problema..4 Sigui un oi lineal e blo, íli i sistemàti amb polinomi generaor ( X ) X X X X X g el qual sabem que les paraules el oi estan formaes per 9 bits. a) Calula la istània mínima min i les apaitats màximes tant e eteió om e orreió errors el oi. b) Calula la matriu generaora G i la matriu e verifiaió e la paritat. Dibuixa, a partir els resultats, un iruit que implementi el oifiaor i que no fai servir registres e esplaçament. ) Coifia la paraula missatge [m m ] [ ]. Suposa que es ometen errors al primer i últim bits e la paraula transmesa i alula la sínrome e la paraula rebua. Utilitza, en aquest segon as, la ivisió e polinomis per alular la sínrome. És possible la eteió i/o orreió aquesta paraula en el reeptor? Com? Soluió a) Donat que el polinomi és e grau n 7 i n 9, aleshores les paraules entraa estan formaes per 9 7 bits i el oi esta format per 4 paraules. Per alular el oeboo al tenir en ompte que totes les paraules el oi tenen om a fator el polinomi generaor g(x), per tant, poem generar totes les paraules multipliant el polinomi generaor per un altre polinomi e oefiients o grau - : ( a bx )( X X X X X ) a ( a b) X bx ax ( a b) X bx ax ( a b) X bx Ara poem generar les 4 possibles paraules el oi onant valors a a i b: a b Coi w Com es pot omprovar, el oi és íli, ja que a part e la paraula tot-zeros, les tres restants es relaionen entre elles a través un esplaçament íli reta o esquerra. Per exemple, la terera paraula és igual a un esplaçament íli a retes e la segona. En la taula anterior s espeifia el pes amming e aa paraula el oi, omprovant que llevat e la paraula tot-zeros, les tres restants tenen sis s. La istània mínima el oi és igual a 6, que es orrespon amb el pes amming mínim llevat e la paraula tot-zeros. Per tant, la apaitat màxima e eteió el oi és e min 5 bits 8

86 8 erronis, mentre que la apaitat màxima e orreió és e bits (totes ues apaitats màximes onaes en una paraula e 9 bits, evientment). b) La matriu generaora la poem alular a partir una base e vetors generaors que verifiquin l estrutura sistemàtia a la part alta e les mateixes (matriu iagonal). Per tant esollim les paraules segona i quarta el oeboo euït en l apartat b: La matriu e verifiaió e la paritat es pot alular iretament a partir e resultat anterior: La implementaió alternativa el oifiaor en el iruit onat en l enuniat es basa en l equaió e oifiaió matriial següent: Donant llo al següent iruit: ( ) 5 / / min [ ] 7 P G [ ] T P [ ] [ ] m m m m m m m m m m m m m m mg v m m v v v v3 v4 v5 v6 v7 v8

87 83 ) El missatge [ ] té om a oi e sortia assoiat l únia paraula el oi que onté aquest missatge a la seva part alta. Mirant la taula el oeboo e l apartat a, veiem que aquesta paraula és []. Suposant que es proueixen errors al primer i arrer bits, la paraula rebua serà [], o en forma e polinomi, la. Per alular la sínrome al iviir la paraula rebua pel mateix polinomi generaor, tenint en ompte que es para e fer la ivisió quan l orre e la resta és menor que l orre el polinomi ivisor: Com es pot veure, la sínrome és iferent e zero, osa que inia la presènia errors en la paraula rebua (eteió!), ja que aquesta no és ivisible per g(x) (oniió que satisfan totes les paraules el oi). D altra bana, el sistema esoifiaor fa servir una taula que relaiona totes les possibles sínromes, en total (n-) 7, amb els patrons error més provables, és a ir, aquells que tenen un mínim número e s (ja que la probabilitat error en un anal e transmissió és en general força més petita que ). En aquest as el patró error que estaria relaionat amb aquesta sínrome seria el patró, ja que es pot fer la següent omprovaió: Per tant, una vegaa alulaa la sínrome, la taula que relaiona sínromes amb els patrons error més probables ens retornaria el patró error, amb la onseqüent orreió els bits erronis: ( ) X X X X X X r X X X X X X X X X X X X X X X X X X X ( ) 8 X X e X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X ( ) 8 X X e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ˆ ˆ X X X X X X X X X X X X X e X r X u

88 Problema..5 ( )( ) Sabent que X X X X X X : a) Dibuixa el iruit oifiaor un oi íli (7,4) sistemàti i explia el seu funionament. Raona la teva resposta. b) Troba el oeboo, la matriu generaora G, i la apaitat e orreió un oi íli (7,3). Soluió a) Donaa la informaió que proporiona l enuniat el problema, veiem larament que 3 el polinomi g ( X ) X X pot ser generaor un oi íli (7,4) ja que el grau aquest oinieix amb el número e bits e paritat (n 3), i aquest és un fator n 7 el polinomi X (ompleix la oniió e iliitat). Per tant el oifiaor seria el següent: Sw X X 3 z - z - z - p p p m(x) m m m m 3 3 Sw a b u(x) p p p m m m m El funionament el iruit oifiaor és el següent: Els registres el iruit es troben iniialment resetejats. X n- m(x): Missatge entraa esplaçat n- posiions Entraa a l últim registre primers los (Sw:ON, Sw:b): Entra el missatge al registre, surt la part sistemàtia e la paraula oi i es alula la ivisió. n- següents los (Sw:OFF, Sw:a):Surten els bits e paritat assoiats a la resta. D aquesta forma el iruit torna a estar resetejat (registres a ) per a la següent oifiaió. El funionament expliat es fonamenta en la apaitat aquest tipus e iruits per iviir polinomis, ja que el proés e oifiaió un oi íli sistemàti es basa en el àlul e la part e paritat, amb polinomi assoiat p(x), om la resta e la ivisió el polinomi X (n-) m(x) pel polinomi generaor g(x), en què m(x) és el polinomi assoiat 84

89 als bits el missatge a oifiar. Les onnexions e realimentaió el iruit les governa el polinomi generaor g(x) (tal om s inia en la figura), i la resta e la ivisió s obté en el registre e esplaçament esprés haver entrat tots els bits informaió (etapa ). b) En aquest as ens és útil el segon polinomi generaor que ens proporiona l enuniat, ja que el grau és 4, que oinieix amb el número e bits e paritat un n 7 oi íli (7,3), i aquest també és un fator el polinomi X (també serà un oi íli, per tant). Per trobar el oeboo ho poem fer tenint en ompte que el oi 4 estarà format per paraules ivisibles per g ( X ) X X X, per tant: u 4 ( X ) ( a a X a X )( X X X ) a ( a a ) X ( a a a ) X ( a a ) X ( a a ) X a X a X Donem valors a a i per generar el oeboo, i alulem també el pes amming e aa paraula el oi: a a a u u u u 3 u 4 u 5 u 6 w Observem que la taula el oi es pot obtenir més fàilment esplaçant íliament una e les paraules el oi. Donat que la paraula e sortia és e 7 bits, existeixen 7 possibles esplaçaments ílis que generaran les 7 paraules llevat e la paraula amb s. Amb el llibre e possibles paraules el oi poem onstruir la matriu generaora, tot agafant un onjunt e 3 generaors, és a ir, vetors linealment inepenents. La forma més senzilla e omprovar inepenènia és esollint el oi sistemàti, ja que en aquest as les paraules esollies formen una estrutura iagonal a la zona alta (per onveni), per exemple: G Segons la taula anterior poem omprovar que la istània mínima és 4 (pes amming mínim exepte la paraula formaa per zeros), per tant la apaitat e orreió és e: t 4,5 min Per tant, el oi és apaç e orregir un error en una paraula oifiaa e 7 bits. 85

90 86 Problema..6 Sigui un oi lineal e blo sistemàti (6,) amb la següent matriu e verifiaió e la paritat: a) Dissenya els valors e a, b, i tal que el oi sigui íli. Justifia e forma raonaa la teva eleió. A partir aquest moment suposa els valors e a, b, i esollits en l apartat anterior. b) Calula les apaitats màximes tant e eteió om e orreió aquest oi. ) Calula una possible taula que relaioni les 6 possibles sínromes amb els patrons error que reguis més aients. Justifia raonaament la teva eleió. És únia la soluió? ) Dibuixa un iruit, basat en registres e esplaçament i portes lògiques, que permeti la implementaió pràtia el esoifiaor. Explia el seu funionament amb un exemple en què l úni bit erroni sigui el primer. Soluió a) Calulem matriu e paritat el oi, tenint en ompte que és sistemàti, i que, n 6 i per tant, n 4: [ ] [ ],, 4 b a b a T P G P Així, les 4 paraules el oi són: [ ] [ ] [ ] [ ] 3 b a b a u u u u En què es pot apreiar om s ha afegit la ombinaió tot zeros (present en qualsevol oi lineal) i la ombinaió formaa per la suma els os generaors el oi que formen la matriu G. Per tal que el oi sigui íli, s ha e omplir la oniió que qualsevol paraula esplaçaa íliament oni llo a una altra paraula el oi. Com es pot veure, els b a

91 esplaçaments ílis e un nombre e posiions senar e les paraules u i u haurien e onar llo a les paraules u i u respetivament (si ens fixem en esplaçaments els bits més alts reta), mentre que els esplaçaments un nombre e posiions parell óna llo a les mateixes paraules. Segons això, poem anar imposant oniions per anar trobant el valor e les onstants a, b, i : u u u () () ( ) u u u Per tant el oeboo és: [ a ] [ b ] b [ a ] [ a ] a [ ] [ ] u u u u 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Veiem, ons, que la oniió e iliitat també es ompleix per la resta e paraules el oi. b) A partir el oeboo trobat poem euir la istània mínima el oi om: { w ( u ), u } min{ w ( u ) 3, w ( u ) 3, w ( ) 6} 3 min min u3 Per tant, és un oi que permet etetar fins a min errors i orregir-ne fins a t / errors en una paraula e 6 bits rebua. ( min ) ) Com veiem es trata un oi no perfete, ja que la apaitat màxima e orreió és e totes les paraules amb error en 6 bits (això són 6 possibles patrons error, amb un error en algun els sis bits) més 9 possibles patrons error amb os errors, ja que el núm. e sínromes a mapar és e: ( n ) 4 6 (no error) 6 (error en un bit) 9 (errorsen os bits) D altra bana, el nombre e possibles patrons error amb errors sobre 6 bits rebuts és e: 6 6! 5 6 5! 4! Fet que orrobora que és impossible que un oi amb aquestes imensions (6,) pugui mai arribar a aquesta apaitat e orreió. 87

92 88 En efinitiva, ons, es trata e veure om assignar les 9 ombinaions lliures e la sínrome a patrons error amb errors. A ontinuaió es visualitza una possibilitat: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] e s e s e e e e e e s s s s T La soluió els patrons error que tenen errors no és únia, ja que, per exemple, la sínrome [ ] pot haver estat generat pels patrons error [ ] (tal om es mostra en la taula) o bé [ ]. No obstant això, sí que s ha omprovat que la soluió onaa és únia en el sentit que els patrons error, amb només os bits erronis, no té ap altra alternativa a la onaa. ) El polinomi generaor aquest oi és una paraula el oi, i altra bana, el polinomi és e grau n - 4, per tant, el arrer e la paraula ha estar a la posiió inquena. Això fa que poem ir que aquest polinomi està representat per la paraula [ ] ( ) 4 X X X p u. Segons això, ja estem en oniions e ibuixar el iruit esoifiaor:

93 X X 4 r(x) z - z - z - z - s s s 3 s 4 eˆ MAP ( s) e e e 3 e 4 e 5 e 6 ˆm ˆm z - z - z - z - z - z - Exemple e funionament: Suposem que s ha enviat la paraula [ ], i que es proueix un error al primer bit, per tant, r [ ]. Els registres es troben iniialment resetejats i anem alimentant els 6 bits rebuts als os registres el iruit. En el registre superior es alula la resta e la ivisió entre la paraula rebua i el polinomi generaor, onant llo a la sínrome aquesta paraula, que en aquest llo serà s [ ]. Aquest resultat s entrarà al mòul e mapat entre sínrome i el patró error més probable, onant om a sortia el patró error [ ]. Per tant el segon registre (inferior) només es moifiarà el primer bit (amb la porta XOR assoiaa a e ). No obstant això, en aquest as es pot entenre que no alria fer la orreió, ja que els bits informaió es troben a la part alta e la paraula rebua. Per això, realment només al que el mòul MAP oni la informaió e e 5 i e 6, i per això la resta el iruit s ha ibuixat en gris, ja que és totalment presinible. Problema..7 Sigui un oi e blo amb el següent oeboo: 89

94 a) Verifia que sigui lineal i íli, iniant e forma explíita quatre omprovaions (les que tu triïs). b) Calula n, i explia amb exemples, la apaitat e orreió i e eteió. ) Expressa la matriu e verifiaió e paritat e la seva realitzaió sistemàtia (prenent els bits el missatge a la part alta e la paraula oifiaa). Calula la taula que relaiona patrons error amb sínromes, i que ontempli úniament les ombinaions assoiaes a la màxima apaitat e orreió el oi. ) Dibuixa ues possibles realitzaions el iruit esoifiaor, tot justifiantles e forma apropiaa. No al que el esoifiaor aprofiti la apaitat e orreió resiual. És un oi perfete? Soluió a) Fem ues omprovaions e la linealitat el oi: u u u 3 u 4 [ ] [ ] [ ] u6 [ ] [ ] [ ] u7 Fem ues omprovaions e la iliitat el oi: u u () [ ] ( ) [ ] u7 () [ ] () 4 [ ] u3 b) Primer alulem la istània mínima el oi, om el pes amming e la paraula iferent e tot zeros amb pes amming mínim: min{ } 4 ( ) min w u i Com veiem, totes les paraules el oi tenen pes amming 4 exepte la paraula tot zeros (pes amming zero) i la paraula tot uns (pes amming 8). Per tant la apaitat e orreió és e: t 4.5 min És a ir, el oi porà orregir qualsevol paraula rebua en què el anal hagi provoat un úni bit erroni els 8 bits e la paraula. A ontinuaió veiem alguns exemples e situaions que sí porà orregir el oi, en què es fa èmfasi en els bits erronis: Paraula transmesa : Paraula transmesa : [ ] Paraula rebua : [ ] [ ] Paraula rebua : [ ] Altres situaions exemple que el oi no porà orregir (quan el anal fai més e un error): 9

95 Paraula transmesa : Paraula transmesa : [ ] Paraula rebua : [ ] [ ] Paraula rebua : [ ] Quant a la apaitat e eteió, si fem servir el oi úniament per a etetar (i no per orregir) porà orregir fins a min 3 bits erronis, per exemple: Paraula transmesa : Paraula transmesa : [ ] Paraula rebua : [ ] [ ] Paraula rebua : [ ] Si el anal provoa 3 o menys errors segur que la paraula rebua no pertany al oi i, per tant en ser la sínrome assoiaa iferent e zero, es porà etetar. Es lar que també es etetaran situaions amb més errors (4, 5, 6, et.) sempre que els anvis no provoquin que les paraules rebues no siguin paraules el oi, tot i que no es pot assegurar la orreta eteió per a tots aquests asos. El oi onat té una 3, ja que ens onen 8 possibles ombinaions entraa. Tenint en ompte el oi en qüestió, veiem que el nombre e sínromes que porem mapar serà e (n-) 5 3, mentre que el número e patrons error assoiats a un número errors menor o igual a és igual a 9 ( sense error i 8 amb un sol error). Per tant, el oi pot tenir una apaitat resiual e orreió i/o e eteió. Si aquesta s aprofita només per a etetar, hi haurà 3 ombinaions e patrons error amb errors que possiblement el oi pugui etetar, tot i que no seran totes les possibles ( 8 ( ) 7 8/ 8 ). En anvi, si s aprofita per a orregir, aleshores alrà augmentar la taula que relaiona sínromes i patrons error e 9 possibilitats a les 3 possibles, inorporant els patrons error que s hagin esollit amb errors i que garanteixin que onen llo a ombinaions e sínromes no usaes abans. ) Comenem per expressar la matriu generaora agafant els 3 generaors que generen una estrutura iagonal a la part reta, onant llo a: u G u u ( P ) Ara ja poem expressar, la matriu e verifiaió e la paritat: T ( n P ) Tenint en ompte la màxima apaitat el oi (t bit erroni), només al tenir en ompte els 8 possibles patrons error amb sol bit erroni en el òmput e la taula que relaiona sínromes i patrons error per al proés e esoifiaió (la ombinaió sense error, no al afegir-la ja que quan la sínrome és zero el reeptor sap que allò que rep és una paraula el oi, i per tant no hi orregeix res). Aquesta taula es pot generar iretament a partir e les olumnes e la matriu : 9

96 s e T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) El iruit esoifiaor es pot implementar es e la perspetiva un oi lineal e blo genèri, o es e la un oi que, a més a més e ser lineal, també és íli: Desoifiaor ML basat en oi genèri: El primer blo seria el sistema que alula la sínrome a partir e l equaió: T s r s r r r r s r r s r r s r r s r r r. e [ ] r 8 El segon blo, s enarregaria e fer el mapat e la taula trobaa en l apartat ). Com poem veure, aasun els bits el patró error s ativa per a una únia ombinaió el vetor sínrome, i altra bana, només és neessari estimar els bits el patró error assoiats al missatge, per tant: eˆ 6 eˆ 7 eˆ 8 s s s s s s s s s s 4 s s s s s Finalment, el terer blo faria la orreió pertinent els bits e la paraula rebua assoiats al missatge segons l equaió següent: mˆ mˆ mˆ 3 r eˆ r eˆ 7 r eˆ 8 A partir e les equaions es pot ibuixar un esquema amb portes XOR (iruit ombinaional) que, a partir els bits e la paraula rebua (r -r 7 ), aluli els bits el missatge esoifiat ( m ˆ ˆ, mˆ, m3 ). Desoifiaor ML basat en oi íli: En aquest as, el primer blo el esoifiaor anterior es pot suplantar per un blo que fai el àlul el vetor sínrome a partir e la ivisió el polinomi e la paraula rebua r ( X ) r r X r3 X r4 X r5 X r6 X r7 X r8 X pel polinomi generaor el oi g(x). Aquest polinomi al erar-lo al oeboo, ja que és una paraula el oi, i que ompleix que el primer bit és i el arrer bit a està a la posiió n 9

97 g X X X X. A ontinuaió es ibuixa el iruit assoiat a aquest blo. 4 5 n sisena, per tant ( ) [ ] X X 4 X 5 r(x) z - z - z - z - z - s s s s 3 s 4 s(x) El oi no és un oi perfete, ja que om s ha omentat anteriorment, la seva apaitat e orreió és e t bit, i els patrons assoiats a aquesta apaitat són en total 9 (omptant també el patró e no error o tot zeros) mentre que el oi permet mapar fins a 3 possibles patrons error..3 Cois onvoluionals Problema.3. Troba la istània lliure assoiaa al oifiaor onvoluional següent: u m u Soluió Partim el iagrama estats, el qual esoblem l estat zero en os estats (un estat iniial i un estat final) i etiquetem les transiions segons el pes amming i e la transiió D i, si el bit transmès és (N) o zero i la variable assoiaa a l eseveniment e transiió L: 93

98 D L E i DLN E E D L E f DLN DLN E 3 L u u DLN Si plantegem les 4 equaions estat, tenim: E E E E f 3 D. L. E E. D. L E. L E. D. L. N E. D. L. N i E. D. L. N E. D. L. N 3 Ara només quearia resolre la funió e transferènia, i mitjançant la ivisió els polinomis, obtenir la istània lliure. Una altre forma e trobar la istània lliure, molt menys ompliaa, és mitjançant el pes e la seqüènia iferent e zero e pes mínim, fent la era amb el iagrama e Trellis. Això és: 3 E E E E 3 El amí iferent e zero e pes amming mínim és el marat per la línia. Aquest veiem que esriu un reorregut... La istània lliure el oi és, per tant, e 4. Una altre forma ireta obtenir la istània lliure és observant el iagrama estats. El amí més irete es e l estat iniial fins al final, és el que ens mara la istània lliure. Aquesta és: 94

99 D L E i DLN E E D L E f DLN DLN E 3 L u u DLN En aquest as, el amí reorregut per la línia puntejaa, és, i la istània lliure és 4, om en el as anterior. Problema.3. Donat el següent oi onvoluional: u v v a) Dibuixa el seu iagrama estats, el iagrama en arbre i el iagrama e Trellis. b) Suposant que el missatge rebut per un anal e transmissió és: [ ] esoifia el missatge transmès fent servir un algorisme e esoifiaió seqüenial amb un riteri e tornaa enrere amb istània amming aumulaa e, i que en as empat esulli sempre la brana assoiaa a la transmissió e un. Soluió ( K ) ( ) a) El número estats és, efinits pel primer bit que hi ha ins el registre el oifiaor. Definim els estats i les transiions: 95

100 E u E u Dibuixem el iagrama estats: E E gualment poem euir el iagrama arbre: E E E E E E E En aa bifuraió, el amí superior orrespon a un bit entraa u i el amí inferior a un u. El iagrama e Trellis quearia e la següent forma: E E b) Per utilitzar un algorisme e esoifiaió seqüenial amb riteri e tornaa enrere, farem servir el iagrama arbre. Distània e amming aumulaa e signifia que si arribem a aquest llinar el amí s haurà e tornar enrere per agafar un altre e millor que no arribi a istània aumulaa e : 96

101 E E E E E E E E E E Si el missatge rebut és [ ] anirem avançant per les branques el arbre e manera que la <. Coi > ª bifuraió brana inferior > E Coi > ª bifuraió tenim possibles amins: brana superior > E. Si ontinuem per aquí, qualsevol els amins e la 3ª bifuraió, ens farà augmentar la, per tant no és un amí orrete i haurem e tornar enrere per la brana inferior. brana inferior > E. Ja veiem que ontinuant per la brana superior e la 3ª bifuraió també ens provoarà. Per tant, el amí orrete serà el e la brana inferior altra op, mantenint la. E Així, tinrem el següent orre: E E E, que orrespon a la oifiaió: [ ], amb la qual osa veiem que la esoifiaió ens orregeix el 3r bit un a un. 97

102 Problema.3.3 En un sistema e transmissió per satèl lit s utilitza el següent oi onvoluional amb paràmetres n 3, i K 3: v u v v 3 a) Dibuixa els iagrames estats i e Trellis (4 transiions) el oi. b) Calula la funió e transferènia el oi. Quant val free? ) Calula una ota per la BER final per a una qualitat e l enllaç e P b - si es fa servir una esoifiaió ar amb l algorisme e Viterbi, i la moulaió empraa és una BPSK. ) Calula la seqüènia esoifiaa (esoifiaió ML) si es rep la seqüènia següent: r [,,] (fes-ho utilitzant el ibuix e l apartat a, i suposa que l estat final és l estat ) e) Compara, e forma intuïtiva, les prestaions e les esoifiaions ar i Soft. f) Quants B s e potènia pot reuir el transmissor el sistema oifiat respete el sistema sense oifiaió tal que la qualitat e l enllaç sigui invariant? Soluió a) Dibuixem, en primer llo el iagrama estats. L estat no és més que el valor e les primeres ( K ) posiions el registre. Per tant hi haurà 4 estats, les transiions entre els quals les poem estuiar alulant la sortia segons si la nova informaió entrant és o. 98

103 u u E E E E 3 (v v v 3 ) Les 4 transiions el iagrama e Trellis les obtenim llegint el iagrama estats omençant per l estat iniial E. Al ap e K- transiions és possible trobar-se a qualsevol els 4 estats. E E E E 3 b) La funió e transferènia permet realitzar un estui sistemàti e tots els amins el oi més propers (quant a istània amming) al amí tot zeros. Per alular-la al tornar a ibuixar el iagrama estats tot esglossant l estat E en os estats E i i E f : E i LND 3 u u E LND LN LD E 3 LND LD E LD 3 (v v v 3 ) E f Plantegem les equaions estat: 99

104 E E E E 3 f 3 LND E LNE LNDE LD LD 3 E E i LND LDE 3 E 3 Aïllem, realitzant substituions, la relaió T E / E : E f 3 8 ( ) ( LN( D ) L, N, D L ND E 3 i ( LND ( L) L N D ( D ) f La istània lliure la poem alular iretament a partir els iagrames estats o e Trellis. Només al veure quina és la seqüènia oifiaa e pes mínim iferent e la seqüènia zero. Ràpiament es pot omprovar que aquesta orrespon a la informaió..., i en aquest as la istània lliure és 8. ) Una ota e la probabilitat error, suposant que la qualitat e l enllaç és p, e post-eoifiaió és: P b T ( D, L, N ) N N, D p ( p) N i free 8 8 ND N D ND N D ( D ) ( ) D N, D p( p) D 3D 3D 4 ( D 3D ) D p( p) ) Donat que només es onen 9 bits rebuts, només al onsierar 3 transiions. D altra bana om l enuniat assegura la terminaió en l estat, només al fer ompetir amins, el informaió [] amb el []. La istània total amming pel primer amí és igual al pes els bits rebuts 7, mentre que la el segon amí és {[ ][, ]}, per tant la seqüènia més provable segons el riteri. ML és [ ] e) La esoifiaió Soft es basa a emprar la istània Euliiana om a mesura e la semblança entre les paraules rebues i les el oi, mentre que la esoifiaió ar utilitza la istània amming. Mentre que la primera es pot apliar a la seqüènia e sortia el esmoulaor mostrejaa a nivell e bit o símbol, la segona requereix una prèvia eteió per llinar el bit abans e la esoifiaió. Aquest fet impeeix aprofitar, om la esoifiaió Soft, l ambigüitat e les mostres e senyal emoulat que es troben al voltant el llinar e eisió, i que permet que el esoifiaor poneri e forma equitativa la similitu entre un bit ò. Això pot reperutir en un augment el guany e esoifiaió e fins a 3 B s en la esoifiaió Soft respete e la ar. f) Ens emanen quin és el guany el oi, el qual poem onar una ota màxima segons l expressió: G log ( r free ) log free log B n 3

105 Problema.3.4 Sigui el oi onvoluional e paràmetres, n 3 i 3 e la figura: v u v v 3 a) Dibuixa els iagrames estats i e Trellis (4 transiions) el oi. b) Quant val free? ) Un oi perforat un oi onvoluional es efineix om el resultat eliminar erts bits e la sortia. D aquesta forma és possible onar iferents qualitats e servei amb iferent amplaa e bana. Compara la màxima reuió C u v, v v i perforat e potènia que permeten els ois original (, 3 ) C u ( v ), v si es vol mantenir la qualitat e l enllaç que un sistema sense oifiaió e anal. Soluió a) Es trata un oi que per aa nou bit entraa óna 3 bits e sortia. El iagrama estats el onstruïm a partir e efinir l estat om el valor el os primers registres el oifiaor. Les transiions entre estats les avaluem, partint un estat i el nou bit entraa, e manera que el anvi estat quea perfetament efinit. Etiquetem les transiions amb els valors els 3 bits e sortia el oifiaor, i ibuixem aa transiió e forma iferent en funió el valor el nou bit entraa. u u E E E E 3 (v v v 3 ) El iagrama e Trellis ofereix una visió temporal i seqüenial e l evoluió el iagrama estats. En aquest as només ibuixem quatre transiions:

106 E E E E 3 b) La istània lliure el oi es pot alular a partir el iagrama e Trellis, observant quin és el pes mínim e totes les seqüènies el oi que parteixen e l estat E iferents e la seqüènia e zeros. Observant el iagrama e Trellis, es pot veure que aquesta seqüènia és la que quea efinia pels bits entraa u [ K], provoant la seqüènia oifiaa v min [,,,,,K]. Per tant la istània mínima el oi és 6. free ) Primer e tot hem e alular la istània mínima el oi perforat, que es pot alular fàilment amb el iagrama e Trellis ibuixat, però tenint en ompte que el terer bit el oi esapareix, per tant no ontribueix al pes e la seqüènia e pes mínim. Si tenim en ompte això, veiem que les transiions el oi perforat són exatament les mateixes que les el oi original, però en aquest as la seqüènia oifiaa serà v ' min [,,,,,K]. Per tant la istània lliure el oi perforat és ' 3. free En segon llo, la utilitzaió e oifiaió e anal permet transmetre amb menys potènia que un sistema sense oifiaió e anal i mantenir la mateixa qualitat e l enllaç (BER bàsiament). Aquesta reuió e potènia s anomena guany e oifiaió, que en un oi onvoluional està aotaa per: G( B) log ( r free ) log free Gmax n El guany màxim G max és anomenat el guany asimptòti el oi. Poem omparar ambós guanys màxims per aasun els ois. G G max max log ' log B B Per tant quea lar que el oi perforat té pitjors prestaions que el oi original, però també és un oi menys reunant i per tant es pot utilitzar per reuir l amplaa e bana el senyal transmès a osta oferir menys qualitat en l enllaç.

107 Problema.3.5 Dibuixeu el iagrama e Trellis el oi onvoluional amb paràmetres n 3 i memòria K 3 e la figura. Caluleu també el guany assimptòti el oi i omenteu el seu signifiat. u m u u 3 Soluió Dibuixem primer el iagrama estats: E m m E E Caa transiió s ha etiquetat amb les sorties (u u u 3 ) orresponents E Dibuixem ara el Diagrama e Trellis: E E E E

108 La 4a transiió s ha etiquetat amb les sorties, mentre que les tres pimeres amb el pes amming e aa transiió. El àlul e la istània lliure implia la era el pes amming e la seqüènia iferent e s e pes mínim. Aquesta es troba om la seqüènia que ivergeix e E i retorna a E per quear-se per sempre més, i que té un pes amming mínim. Com es pot omprovar, la seqüènia oifiaa e pes amming mínim que ivergeix e E és: Missatge Seq. Coifiaa,,,, L 3 6 L free 6 Guany assimptòti: G log free log 6 3. B n 3 És la màxima reuió e potènia (en el transmissor) que permet treballar amb la mateixa fiabilitat (BER) respete el sistema sense oifiaió e anal. Aquesta s assoliria si la E b N, i per tant, a la pràtia la reuió és menor. Problema.3.6 Un sistema e omuniaions fa servir un oi onvoluional el qual es oneix el seu iagrama en arbre (vegeu figura). El esoifiaor treballa amb la filosofia har eision i fa servir l algorisme e esoifiaió seqüenial amb els següents riteris: A igualtat e mètriques s esull el amí inferior Criteri e tornaa enrere: si la mètria amming aumulaa iguala el valor e 3. a) Troba la seqüènia esoifiaa pel esoifiaor si la seqüènia binària rebua és: [ ]. Explia i justifia tot el reorregut que es realitza per tal arribar al resultat. b) Digues i justifia els prinipals avantatges i inonvenients e la esoifiaió seqüenial respete a la esoifiaió ML basaa en l algorisme e Viterbi. 4

109 5

110 Soluió a) Expliaió: a: mètria per totes ues transiions, esollim brana inferior a-b: mètria per totes ues transiions, esollim brana inferior a-b-: mètria 3 per totes ues transiions, tornem a l anterior noe a-b-: amí inferior amb mètria menor a-b--b: amí superior amb mètria menor a-b--b-/a-b--b-: mètria 3 per totes ues transiions, tornem a l anterior noe a-b--a: mètria 3, tornem a l anterior noe a-b- i a-b ompletament explorats, tornem enrere a-a: amí superior amb mètria menor 6

111 a-a-a: amí superior amb mètria menor a-a-a-a: mètria per totes ues transiions, esollim brana inferior a-a-a-a-b: amí superior amb mètria menor Per tant la seqüènia orregia és: [ ] (en negreta els bits orregits), i la seqüènia informaió esoifiaa és: [...]. b) La esoifiaió seqüenial té els següents avantatges respete e la esoifiaió ML amb l algorisme e Viterbi: - Només s analitza un úni amí en aa instant, mentre que el esoifiaor ML n analitza molts més. - Això permet apliar el esoifiaor seqüenial a ois molt potents (amb i/o K molt elevaes) e manera que amb un esoifiaor ML seria impratiable la esoifiaió, ja que la seva omplexitat reix e forma exponenial amb aquests paràmetres. No obstant això, la esoifiaió seqüenial té els següents esavantatges respete e la esoifiaió ML amb l algorisme e Viterbi: - A mesura que empitjora la SNR el anal, reix el número e eisions orretes, fet que afeta a una exploraió més ensa el iagrama en arbre, augmentant la omplexitat el esoifiaor. SNR. - El esoifiaor ML, no obstant això, té una omplexitat inepenent e la - El esoifiaor seqüenial pot patir problemes e saturaió quan la SNR és molt baixa, ja que la ensitat e àluls a realitzar supera la apaitat e proessament el esoifiaor. 7

112 Problema.3.7 Un sistema e omuniaions fa servir un oi onvoluional el qual es oneix el seu iagrama en arbre (vegeu figura e l exerii.3.6). Per a un missatge e 5 bits enviats es rep la seqüènia [,,,,]. a) Troba els paràmetres el oi (n,, K,) i ibuixa el iagrama e blos omplet el oifiaor. b) Troba la seqüènia esoifiaa per un algorisme e esoifiaió seqüenial amb els següents riteris: - A igualtat e mètriques s esull el amí superior - Criteri e tornaa enrere: mètria amming aumulaa iguala el valor e 3. Explia i justifia tot el reorregut que es realitza per tal arribar al resultat. ) Troba la seqüènia esoifiaa per un algorisme e esoifiaió ML. Soluió a) Calulem la resposta impulsional el oifiaor, tot veient quina és la seqüènia oifiaa quan el missatge és [...], i el resultat és: [...], per tant el iagrama e blos el oifiaor és el següent: v u v La brana e alt es orrespon amb els bits a que hi ha a l inii e aa paquet e bits e la resposta impulsional, mentre que la brana e sota, amb onnexió al primer i últim registre, es orrespon amb els bits el final que onforme el. Per tant els paràmetres el oi són, n, K 3. 8

113 b) En la figura es mostra el reorregut e l algorisme e esoifiaió seqüenial. S ha marat, a aa transiió, la istània amming aumulaa respete e la seqüènia rebua. S han apliat les ues regles que óna l enuniat: aa vegaa que les ues bifuraions que hi ha en un noe provoquen una mateixa istània, s esull el amí superior (es transmet un ), i aa vegaa que aquesta iguala el valor e 3, es torna enrere explorant uns altres amins enara no explorats. ) A ontinuaió es mostra el iagrama e Trellis. Caa transiió s ha etiquetat amb les sorties i entre parèntesi s ha posat la istània amming e la transiió respete els os bits rebuts. Es marquen en olor gris les transiions que s eliminen en apliar l algorisme e Viterbi, és a ir, aquelles que tenen una istània amming aumulaa major. En as empat s ha apliat la regla e quear-nos amb la transiió superior (la que arriba per alt en el ibuix). Al final es mostren també les istànies amming els 9

114 4 amins que arriben als iferents estats finals, i s ha suposat que el oifiaor està iniialment iniialitzat, e manera que es omença a l estat E. E E E E 3 () () () () () D 4 () () () () () () D 4 () () () () () () () () () () () () () () D 3 () () () D 3 r [,,,, ] La orresponènia entre els estats el iagrama ibuixat, el valor e les ues primeres posiions el registre el oifiaor i els estats que apareixen en el iagrama en arbre e l enuniat és la següent: E () a E () b E () E 3 () Es mostra en línia més gruixua, el reorregut el amí guanyaor, que es orrespon amb: Entraes: [,,,, ] Sorties: [,,,, ] Estats: [ E, E, E, E, E 3 ] En què en el valor e les sorties orregies es mostren els bits que s han orregit. Problema.3.8 Sigui el oi onvoluional amb veloitat ½ i polinomis generaors 3 g ( X ) X i g ( X ) X : a) Dibuixa l esquema i el iagrama estats el oifiaor. b) Desoifia la seqüènia rebua [,,] amb l algorisme e feeba amb memòria L, suposant que el oifiaor es troba en un iniialitzat en un prinipi. ) És un oi atastròfi? En as afirmatiu posa un exemple e seqüènia rebua que ho orrobori.

115 Soluió a) Dibuixem el oifiaor segons els polinomis generaors e l enuniat: m X X X 3 R R R3 R4 u u Com es pot veure, la memòria el oi és K 4, amb la qual osa el oi tinrà (K-) 3 8 estats. Els bits assoiats als estats són els registres [R,R3,R4]. Per generar el iagrama estats al tenir present l estat anterior i el nou bit que entra per alular el següent estat així om els os bits e sortia. Fem-ho primer en forma e taula: Estat atual [R,R3,R4] Estat següent Si m [R,R3,R4] Sorties Si m [u,u ] Estat següent Si m [R,R3,R4] Sorties Si m [u,u ] Ara passem al ibuix el iagrama estats:

116 b) L algorisme e feeba es basa en el iagrama en arbre. Per una finestra e L transiions (amb bits informaió per transiió) haurem e onsierar un total e L 4 seqüènies per prenre aa eisió. A ontinuaió ibuixem el iagrama en arbre, onsierant només les 3 primeres transiions: F E E E Si m E Si m F E E E E E E E r [,, ] En la primera finestra anàlisi (F) tenim les seqüènies {[,],[,]} a la part superior i {[,],[,]} a la part inferior. La part inferior és la que onté la seqüènia e mínima istània respete els 4 primer bits rebuts [,], per tant el esoifiaor óna la primera transiió amb m om a bit esoifiat (i aquesta eisió implia que ja no s explorarà la part superior el iagrama en arbre mai més). En la segona finestra anàlisi (F), ara les subseqüènies són {[,],[,]} per la part superior i {[,],[,]} a la part inferior. Ara omparem amb els bits e la seqüènia rebua [,] (el terer al sisè bit rebuts), amb la qual osa trobem que la seqüènia e mínima istània es troba, una altra vegaa, a la part inferior. Per tant tornem a esoifiar el bit entraa om m. Per a esoifiar el terer bit m 3, suposant que no tenim més bits rebuts que els que óna l enuniat, ientifiquem que la subseqüènia e la part inferior e mínima istània és justament [,], per tant veiem que aquest terer bit seria m 3 (ja que pugem). Així, la seqüènia e bits transmesos seria m [,,] i la seqüènia estats [E, E, E, E ]. Veiem que en aquest as, el que rebem es orrespon amb una e les possibles seqüènies el oi, per tant hem suposat que no s ha prouït ap error en la omuniaió (situaió més probable). ) Observant el iagrama estat e l apartat a veiem que existeix un amí tanat amb pes amming zero: E E. Això ens inia que el oi pot provoar que un núm.

117 finit errors en el anal provoqui un núm. inefinit errors e esoifiaió (propagaió atastròfia e l error). Un exemple que orrobori això seria el següent: - Transmetem: m [,,,,,,... (tot zeros)] - La seqüènia oifiaa seria: u [,,,,,,,,...(tot zeros)] - Patró error: e [,,,,,,,,... (tot zeros)] - Seqüènia rebua: r [,,,,,,,... (tot zeros)] Observem que existeix una seqüènia el oi amb istània amming zero respete e la seqüènia rebua, que seria la orresponent a la seqüènia transmesa: m [,,,,,... (tot uns)] Per tant, una esoifiaió ML apliaa sobre la seqüènia rebua onaria aquesta seqüènia m om a resultat e la esoifiaió, és a ir, que un patró error amb 5 errors hauria provoat una seqüènia esoifiaa amb un núm. inefinit errors (epèn e la longitu e la seqüènia transmesa, que poria ser arbitràriament alta). Una altra forma e veure que el oi és atastròfi és veure si els polinomis generaors el oi tenen alguna arrel omuna. En aquest as els os polinomis són 3 3 X i X. Poem veure que X ( X X )( X ) i que X ( X )( X ), per tant omparteixen l arrel X fet que es trata un oi atastròfi. Problema.3.9 Sobre els ois onvoluionals, explia i argumenta e forma raonaa les prinipals iferènies entre: a) Diagrama estat i iagrama e Trellis. b) Desoifiaió har i soft. ) Cois onvoluionals onvenionals i ois onvoluionals reursius i sistemàtis. ) Desoifiaió ML i esoifiaió seqüenial. Soluió a) El iagrama estats (D.E.) ofereix úniament una visió atemporal els possibles estats, transiions i sorties un oi onvoluional, mentre que el iagrama e Trellis (D.T.) aporta la imensió temporal i permet visualitzar en funió el temps les possibles seqüènies e sortia el oifiaor. D altra bana, el iagrama D.T. permet realitzar e forma efiient la esoifiaió e màxima versemblança (M.L.) aquest tipus e ois, que és òptimament efiient, mentre que el D.E. és més apropiat per realitzar un estui algebrai i sistemàti e les prinipals propietats el oi (istània lliure, amins amb pes amming orenat reixentment per pes amming). b) La esoifiaió Soft es iferenia e la esoifiaió ar en què pot aportar un guany e oifiaió fins a B superior a aquesta, pel fet que fa ús el senyal bana 3

118 base mostrejat i quantifiat a més un bit per símbol, havent més guany quants més bits per símbol es fain servir. Per ontra, aquesta tènia (soft) suposa un augment e omplexitat e àlul, per la presènia el quantitzaor i per l aritmètia a usar. ) Els ois onvoluionals onvenionals són aequats per a ser usats tal qual o en onatenaió amb sistemes entrellaat i altres ois (p.ex. e blo), mentre que els ois onvoluionals reursius sistemàtis són més aequats per la implementaió e turbo-ois, ja que en tenir seqüènies informaió e més un sol les que proporionen les seqüènies oifiaes e pes amming mínim, l etapa entrellaçat garanteix que els os ois onstituents (que generalment és el mateix oi) no treuran ap a la sortia e forma simultània ois amb pes amming mínim, i per tant, es garanteix la maximitzaió e la istània lliure el oi onatenat global i la minimitzaió e la BER en el proés e esoifiaió realimentaa. ) La esoifiaió ML (Maximum Lielihoo) és òptima en anals amb soroll aitiu blan i Gaussià i té una omplexitat que reix exponenialment amb la memòria el oi (K) però linealment amb la longitu e la finestra e esoifiaió (finestra llisant) i no epèn e la qualitat e la transmissió (E b /N ). La es. ML es basa en la representaió en iagrama e Trellis i en omparar, en termes e istània respete e la seqüènia rebua amb les (K-) seqüènies més probables que s han pogut transmetre i la seva implementaió es pot realitzar efiientment amb l algorisme e Viterbi. D altra bana, la esoifiaió seqüenial és una tènia que es basa en la representaió en iagrama en arbre i que explora un úni amí simultàniament, fet que permet la esoifiaió e ois amb gran memòria (K>>) i, per tant, apaitat e orreió. En anvi, aquesta tènia té l inonvenient que en presènia e força errors (anal amb baixa E b /N ) es esarten sovint branques el iagrama en arbre i al tornar enrere per explorar noves seqüènies possibles, provoant una àrrega omputaional e esoifiaió que pot reixer e forma arbitrària i no aotaa. Problema.3. Per a realitzar el àlul e la funió e transferènia un oi onvoluional e veloitat /3 s ha ibuixat el iagrama estats inomplert esoblant l estat iniial el oi tal om es representa a la següent figura: 4

119 a) Calula els paràmetres el oi (n,,k), ibuixa el iagrama e blos el oifiaor i ompleta el valor els bits que apareixen amb una X. b) Calula i isuteix la apaitat e orreió aquest oi així om el tipus errors que permet orregir. ) Aplia l algorisme e esoifiaió e màxima versemblança a la seqüènia rebua orresponent a una transmissió el missatge [,,,] si urant la transmissió hi ha hagut erraes als os primers bits transmesos. Soluió a) A partir el iagrama estat veiem que, ja que e aa estat surten i arriben ues transiions, n 3, ja que el oi e aa transiió és e 3 bits, i K 3, ja que el número estats és (K-) 4 estats. D altra bana, el iagrama ens óna informaió e la resposta impulsional el oi o, el que és el mateix, el oi e sortia quan entrem la seqüènia informaió m [,,,,...]. En aquest as és la seqüènia U [,,,,,...]. Aquesta seqüènia ens óna informaió ireta e les onnexions el iagrama oifiaor. Aquí també observem om el fet que només hi hagi 9 bits no nuls e sortia ens iu que K 3, ja que hi ha 3 paquets e n 3 bits. El primer bit e aa agrupaió e tres, óna informaió e les onnexions ap al primer bit e sortia, i om en aquest as els tres primers bits són tots igual a, la XOR assoiaa a el primer bit està onnetat amb tots els bits el registre e esplaçament. La porta XOR els bits segon i terer, en anvi, només estan onnetats al primer i terer registres, ja que en el segon paquet e 3 bits e la seqüènia U els os arrers bits són zero. Per tant el iagrama e blos el oifiaor és el següent: u m u u 3 Amb el oifiaor ibuixat ja estem en oniions omplir les aselles amb una X el iagrama estats onat. Observem que om el segon i terer bits e sortia són ièntis, només al repliar el valor el segon en el terer. 5

120 b) Per alular la apaitat e orreió aquest oi, primer hem e alular la istània lliure f, que no és més que el pes amming e la seqüènia no nul la e pes amming mínim. Com ha e ser una seqüènia amb pos s i no nul la poem busar, a partir el iagrama estats, quina seqüènia parteix e l estat a ap al b i torna un altre op ap a l a amb un núm. mínim e s. Donat que la seqüènia ha e passar pels estats b i obligatòriament, al amí e mínim pes amming és el que va iretament e b a. Per tant, la seqüènia e pes amming mínim orrespon a la resposta impulsional el oi U [,,,,,...] amb pes amming w (U) 7 f. Per tant es trata un oi que té una apaitat e orreió e t ( f )/ ( 7 ) / 3 bits en qualsevol posiió e la seqüènia, tot i que a la pràtia també pot orregir molt més errors si aquests estan prou allunyats entre ells, onretament e t 3 errors aa e 3 a 5 transiions el Trellis (aa 9-5 bits rebuts). ) La transmissió el missatge m [,,,] provoa una seqüènia oifiaa enviaa U [,,,]. Suposant erraes als os primer bits, la seqüènia rebua seria Z [,,,]. En la figura següent es pot observar el iagrama e Trellis e les quatre transiions, tant el orresponent a les possibles seqüènies e sortia el oifiaor (a alt), om el orresponent a les istànies amming alulaes al esoifiaor en funió e la seqüènia rebua (a baix). Com es pot omprovar, en el iagrama inferior s ha realitzat el proés e esoifiaió e Viterbi, e manera que les transiions amb major istània amming aumulaa que arriben a un mateix estat en un instant onat s han esartat i marat en una tonalitat grisosa, mentre que els amins amb menor istània es mantenen en olor negre. Al ap e les quatre transiions onaes pels bits transmesos, s ha marat en negreta la seqüènia e istània amming aumulaa mínima (igual a ) respete e la seqüènia rebua, és a ir, la que entregaria el esoifiaor si no es isposés e ap informaió aiional (p.ex. estat final onegut). Com es pot omprovar és aquesta la seqüènia transmesa [,,,] egua a la seqüènia informaió [,,,], per tant, la esoifiaió seria sense error en aquest as. Això és així perquè, om s ha vist en l apartat b), aquest oi pot orregir 3 error en qualsevol posiió. 6

121 a b Z [,,, ] a b Γ5 Γ Γ3 Γ3 Problema.3. Sigui un oi onvoluional amb paràmetres, n 3 i K, i polinomis 3 3 generaors g ( X ) X X, g ( X ) X X i g 3( X ) X : a) Dibuixa el iagrama e blos el oifiaor i explia el seu funionament. b) Dibuixa el iagrama e Trellis el oifiaor, i óna tres possibles seqüènies e 9 bits el oi. ) Calula quina és la màxima reuió e potènia que aquest oi permet, sense afetar la fiabilitat e la transmissió, respete el sistema que no fai ús aquest oi. ) És un oi atastròfi? Soluió a) Tenint en ompte els paràmetres i els generaors el oi, el seu iagrama e blos és el següent: 7

122 u m m Estat u u 3 En què s ha tingut en ompte que: i) la longitu el registre e esplaçament el oifiaor és e K 4 (K etapes e bits); ii) els polinomis generaors iniquen les onnexions que es prenen el registre e esplaçament ap a aasun els bits el blo sortia n 3 bits. El seu funionament és el següent. niialment el registre es troba resetejat. La informaió entra amb blos e bits onseutius (m,m ), e manera que en el registre e esplaçament es esplaça tota la informaió ap a la reta e en bits. Caa vegaa que entra un blo e bits, surt un blo e 3 bits orresponent als bits (u, u, u 3 ). b) Per a euir el iagrama e Trellis al tenir en ompte el que efinim om a Estat el oifiaor, que en aquest as està format pels bits e la reta el registre e esplaçament (veure iagrama e blos e l apartat a). Per tant, el oifiaor tinrà 4 possibles estats, que anomenarem: E, E, E, E 3. A ontinuaió al plantejar totes les possibles transiions estat el oifiaor, prenre per aa possible estat iniial i veure quins poen ser els possibles estats finals. Atès que el següent estat epèn úniament el nou blo e bits entraa (que pot ser qualsevol ombinaió e bits), existiran 4 possibles transiions es e aa estat i arribaran també 4 possibles transiions ap a aa estat. A ontinuaió ibuixem el iagrama estats: 8

123 n (u u u 3 ) n n E n E E E 3 Si a partir el iagrama estats fem el iagrama e Trellis (ibuixem 3 transiions, partint e la iniialitzaió a l estat E ), obtenim el següent resultat: 9

124 E E E E3

125 Del iagrama e Trellis poem treure n les possibles seqüènies, en aquest as assoiaes a seqüènies e 9 bits (3 transiions amb 3 bits e sortia aasuna), per exemple: [,,] U [,,] [,,] U U3 Assoiaes a les entraes respetives: m [,,], m [,,], m [,,]. ) La màxima reuió e potènia que es pot aonseguir amb un oi onvoluional sense afetar la qualitat e la transmissió (BER onstant) és el que es oneix om el guany asimptòti e oifiaió. El seu valor epèn e la istània lliure el oi, que poem alular a partir el ibuix el iagrama e Trellis anterior. Es trata e veure quina és la seqüènia e pes amming mínim, que no sigui la seqüènia amb tot e zeros. Al ibuix anterior s ha marat el negreta el amí assoiat a aquesta seqüènia (entraa [,,,,...] i sortia [,,,,...]), que om es veu té pes amming 3. Per tant, la istània lliure aquest oi és f 3. Aleshores, el guany asimptòti e oifiaió és: n 3 [ B] log log 3 log ( ) 3 B G f És a ir, que aquest oi permetria isminuir la potènia el transmissor a la meitat sense afetar la qualitat e la transmissió igital. ) Com es pot apreiar en el iagrama estats el oi, no existeix ap amí tanat amb pes amming, per tant aquest no és un oi atastròfi. Això vol ir que no es presentarà mai la situaió en què un nombre finit errors en el anal proueixi un número ineterminat errors e esoifiaió. Problema.3. Sigui un oi onvoluional amb paràmetres, n 4 i K 3, i polinomis generaors g ( X ) g( X ) g3( X ) X X i g 4( X ) X : a) Dibuixa el iagrama e blos el oifiaor i explia el seu funionament. b) Deueix e forma raonaa i ibuixa el iagrama e Trellis el oifiaor, i óna tres possibles seqüènies e bits el oi. ) Calula quina és la màxima reuió e potènia que aquest oi permet, sense afetar la fiabilitat e la transmissió, respete el sistema que no fai ús aquest oi. Raona tot el proés e euió. ) Defineix el signifiat e oi atastròfi. És aquest un oi atastròfi? Justifia e forma raonaa la teva resposta

126 Soluió a) A partir e les aes onaes veiem que es trata un oi que aa nou bit entraa ( ) en treu 4 e sortia (n 4). El oi té una memòria e K 3 etapes un bit ( ). Els tres primers bits e sortia són ièntis (suma XOR els 3 registres, ja que tots tres primers polinomis generaors són ièntis, i els tres termes estan assoiats a les onnexions amb tots tres registres). El quart bit e sortia està assoiat a la suma XOR entre el bit el primer i terer registres (a ausa el quart polinomi onat). Segons això, el iagrama e blos el oifiaor és el següent: u Estat v v v 3 v 4 El funionament és el següent: o o Per a una seqüènia e N bits oifiats, el oifiaor s iniialitza a zeros Per aa bit entrat es esplaça el registre una posiió ap a la reta i es per el bit e la reta o Les quatre sorties (v, v, v 3, v 4 ) es alulen segons l esquema anterior i es repeteix el proeiment per aa bit entraa o La seqüènia e N bits a oifiar, en aquest as, es pot aabar amb os s seguits per garantir que s aaba en un estat onegut (estat E). b) Comenem per euir el iagrama estats el oifiaor. Per aa possible estat, format pels os bits arrers el registre e esplaçament (veure figura e l apartat a), es planteja quina serà la sortia atual i el valor el següent estat en funió el nou bit entraa. Com aquest nou bit només és un, e aa estat porem anar a os possibles estats, que els istingirem pel tipus e línia en el iagrama. u u E E E E 3 (v v v 3 v 4 )

127 Les 4 transiions el iagrama e Trellis les obtenim llegint el iagrama estats omençant per l estat iniial E. Al ap e K- transiions és possible trobar-se a qualsevol els 4 estats. E E E E 3 Llegim 3 possibles seqüènies e sortia en funió e tres possibles seqüènies entraa: Missatge: (,,) Coi: (,,) Missatge: (,,) Coi: (,,) Missatge: (,,) Coi: (,,) ) La màxima reuió e potènia que aquest oi permet, sense afetar la fiabilitat e la transmissió, és justament el guany asimptòti o guany e oifiaió, que epèn e la istània lliure el oi. Per alular la istània lliure, al erar a través el Trellis, la seqüènia que parteix e l estat E ap a un altre estat i torna a l estat E i que té mínim pes amming (núm. e s). Aquest proés ens onarà la seqüènia el oi e pes amming mínim, i aquest pes mínim serà la istània mínima el oi o també anomenaa istània lliure. En el iagrama e Trellis e l apartat b) s ha marat amb una línia més gruixua el amí assoiat a la seqüènia e pes amming mínim que es orrespon amb un missatge (,,,,,...) i un oi (,,,,,...). Per tant, la istània lliure el oi és: f { w ( U ), U Coi, U } w {(,,,,,... )} h h min Per tant, el guany asimptòti el oi és: G log r f log f log n 4 ( ) B ) Un oi atastròfi és aquell en què un nombre finit errors en el anal pot provoar, en alguna situaió onreta, un nombre inefinit errors e esoifiaió. Aquest tipus e ois són totalment esaonsellables pels problemes que pot representar alhora usar-los en sistemes e omuniaió reals. Per ientifiar si es trata un oi atastròfi, primer poem mirar si els polinomis omparteixen algun terme tots ells. Tres polinomis són ièntis, no obstant això, el quart és iferent, i per tant, al mirar si els os polinomis iferents tenen algun terme omú. El polinomi X té una arrel per X, per tant el poem posar om 3

128 ( X ) X ( X )( X ) X X X g 4 3 No obstant això, l altre polinomi no té l arrel X, ja que: g ( X ) g ( X ) g ( X ) 3 Per tant, en no ompartir ap fator omú el oi no és atastròfi. Una altra forma e veure-ho és mirant el iagrama estats, i verifiant si existeix algun amí tanat, iferent e la transiió E E, amb pes amming aumulat igual a. Com es pot omprovar, no existeix ap amí amb aquestes araterístiques..4 Entrellaçat Problema.4. Dissenya un sistema entrellaçat aequat a un oi orretor (3,5) amb t 4, per a un anal amb errors a ràfegues que, en la majoria e les situaions, presenta ràfegues e uraa menor e bits i que la separaió entre ràfegues és om a mínim e bits. Posa un exemple en què es omprovi el orrete funionament el sistema. Comenta els prinipals avantatges i/o inonvenients e l entrellaçat onvoluional respete e l entrellaçat e blo. Soluió Un entrellaçat e blo e M files i N olumnes (entrant per olumnes i sortint per files en la oifiaió) provoa que en el esentrellaçat les ràfegues e bn bits es trenquin en subràfegues e b o menys bits amb una separaió mínima e M - b bits entre ràfega i ràfega. Per al as que ens oupa, el oi pot orregir fins a 4 bits aa 3 bits, per tant poem esollir el valor e b entre 3 i 4 (per exemple, 3.6) i M b 3, per tant M 33. D altra bana, les ràfegues entraa seran e bn, per tant N 3 e manera que b Posem per exemple un blo entrellaçat e N M 99 bits, i una ràfega e bits onseutius en el anal: En què s ha tingut en ompte que els bits s envien i es reben per files i es esoifiquen traient-los per olumnes. Com es pot apreiar, el fet que les ràfegues estiguin espaiaes o més bits garanteix que ins un blo entrellaçat hi haurà om a màxim una únia ràfega. D altra bana, els bits e sortia el esentrellaçat seran: 4

129 Com es pot apreiar, les ràfegues e sortia són e 4 o menys bits, i la separaió entre ràfegues és e 3 bits, així que segur que totes les paraules el oi e blo rebues tinran 4 o menys bits erronis, e manera que el oi les orregirà totes. i hauria altres possibilitats e isseny, per exemple: - Esollir b, N 5 i M 5. D aquesta forma, les ràfegues e sortia el esentrellaçat seran om a màxim e bits e uraa, però aquestes es sueiran aa un mínim e 5 bits, e manera que en 3 bits hi haurà un màxim e 4 errors, la orreió els quals la farà oi. - Esollir b, N i M 7. En aquest as, per aa 7 bits e sortia el esentrellaçat pot haver-hi error, e manera que en 3 bits n hi haurà un màxim e 4, e manera que el oi Si volguéssim usar un entrellaçat onvoluional amb prestaions similars esolliríem N 3 i M 33 (N-) J J J 7. En aquest as l entrellaçat onvoluional aporta els benefiis e requerir la meitat e memòria, així om un retar en el proés entrellaçat i esentrellaçat que es reueix també a la meitat (e M N/ bits o temps e bit). Problema.4. Explia les prinipals iferènies entre els sistemes entrellaçat i) e blo uniforme i ii) onvoluional. Ajua t e ibuixos per reolzar les teves expliaions. Posa un exemple pràti que permeti e visualitzar els avantatges o inonvenients un o altre sistema. Soluió La prinipal iferènia entre l entrellaçat e blo i el onvoluional està en la inàmia el proés: mentre en el primer as els bits es reorenen ins un blo e longitu L M N (essent M i N el nombre e files i olumnes e la matriu e reorenaió) e manera que en l entrellaçat s entren els bits per olumnes i es treuen per files i en el proés e esentrellaçat s entren per files i es llegeixen per olumnes (vegeu figura primera), a l entrellaçat onvoluional es ivieix la seqüènia en N anals temporals, a aasun els quals se li aplia un retar iferent e J bits més e iferènia entre anals onseutius (vegeu figura segona). 5

130 Entrellaçat e blo (genèri, en la figura superior) uniforme (partiularitzat en la figura inferior) Per poer omparar tots os sistemes al esollir el paràmetre M (N-) J a l entrellaçat e blo uniforme, e manera que poem realitzar el següent exemple amb N 4, M 3 i J. Entrellaçat onvoluional 6

131 Delay NM T b Entrellaçat onvoluional Entrellaçat e blo uniforme Delay NM T b Com es pot veure en la figura, es ontempla l exemple amb bits a enviar, sobre els quals hi haurà una ràfega e 4 bits onseutius en el anal (marats en gris), que en tots os asos provoa a la sortia errors e les mateixes araterístiques (ràfegues e bit aa 3 bits). A l entrellaçat e blo es pot veure om es requereix e bits e memòria (matriu e 4 3) tant a l entrellaçat om al esentrellaçat, mentre que al segon as el onvoluional només alen 6 bits e memòria per aa etapa. Com a segona araterístia, es pot apreiar que en el primer as, l entrellaçat e blo provoa un retar intrínse e 4 bits, ja que la forma e proeir requereix que la matriu estigui totalment plena per omençar a treure informaió (tant entrellaçat om esentrellaçat). En anvi, al onvoluional es pot veure que aquest retar es reueix a bits. Per tant, es pot onloure que l entrellaçat onvoluional té tots els avantatges en igualtat e oniions al resultat (apaitat e trenar ràfegues), onretament la metitat tant e memòria neessària om e retar provoat. 7

132 RESUM En aquesta sessió s ha proposat un ompeni e problemes sobre el apítol e oifiaió e anal, obrint tant els ois lineals e blo, els ois ílis, els ois onvoluionals i l entrellaçat. 8

133 Sessió 3: Moulaions avançaes FTXA DE LA SESSÓ Nom: Moulaions avançaes Tipus: problemes Format: no presenial Duraa: hores Treball a lliurar: no Material: o Bibliografia bàsia: [Slar] [Proais] [Sooro8] OBJECTUS En aquesta sessió es proposa una ol leió e problemes resolts sobre el tema e moulaions avançaes. CONTNGUTS A ontinuaió es mostren els problemes sobre moulaions avançaes. En els asos en què un problema estigui assoiat a la guia estui e l assignatura s inia just abans e l enuniat amb la referènia orresponent en la mateixa guia. 3. Moulaions avançaes Problema 3. a) Dibuixeu el iagrama e blos un esquema sèrie aquisiió e la seqüènia pseuo-aleatòria per un sistema e seqüènia ireta DS i per un sistema e salt e freqüènia F, tot omentant la funionalitat e aa blo. b) L expressió el temps mitjà aquisiió un sistema sèrie és: ( P )( KP ) Taq λt N PD Comenteu que representa aa paràmetre a l equaió. D ) Comenteu les iferènies un sistema sèrie single-well i multiple-well, tot iniant els avantatges i inonvenients e aa mètoe. fa 9

134 Soluió Diagrama e blos un esquema sèrie aquisiió e la seqüènia pseuo-aleatòria per un sistema e seqüènia ireta DS: ( ) λτ COMPARADOR GENERADOR PN CONTROL ADQUSCÓ El senyal rebut es multiplia per la seqüènia pseuo-aleatòria PN. Si la seqüènia pseuo-aleatòria i el senyal rebut es troben perfetament sinronitzaes tinrem un pi e potènia a f, és per això que posem un filtre passabana a aquesta freqüènia. Per a alular la potènia integrem en un períoe (λ T ) múltiple el temps e xip. L eleió el períoe λ T respon a un ompromís entre robustesa (λ gran) y veloitat (λ petita). El nivell e potènia etetat es ompararà amb un nivell llinar que eterminarà si la sinronitzaió a estat bona o no. Si no ho fos, el ontrol aquisiió moifiarà el retar e la seqüènia PN. Aquest proés s anirà repetint fins que s assoleixi un nivell superior al llinar. Diagrama e blos un esquema sèrie aquisiió e la seqüènia pseuo-aleatòria per un sistema e salt e freqüènia F: LPF ( ) λτ COMPARADOR F. OPPER GENERADOR PN CONTROL ADQUSCÓ El funionament és molt similar al sistema e seqüènia ireta (DS). En aquest as el senyal rebut es multiplia per una sèrie e freqüènies que van saltant segons la seqüènia pseuo-aleatòria PN. 3

135 Novament es realitza el filtratge, integraió i omparaió per a veure si la sinronitzaió és orreta. Si no ho és, el ontrol aquisiió moifiarà el retar e la seqüènia pseuo-aleatòria fins que ho sigui. b) Els paràmetres e l equaió el temps mitjà aquisiió són els següents: P : Probabilitat e eteió. Probabilitat e que estant en la el la bona (temps e sinronisme sota prova és el orrete) el sistema ens ho igui. λ T : Temps integraió. P fa : Probabilitat e falsa alarma, o e que el sistema oni per sinronitzat el sistema quan en realitat el temps e sinronisme no és el orrete. Aquesta situaió pot sueir pel fet e usar llinars i temps e integraió petits, per tal e aelerar el proés e era. No obstant això, la falsa alarma obliga a realitzar un tratament més robust, que es omenta en el següent paràmetre. K: Fator e penalitzaió per falsa alarma. Quan esprés e la integraió urant λ T segons el valor energia està per sobre el llinar e omparaió, el sistema realitza una verifiaió omparant amb un altre llinar superior al ap e K λ T segons més. Això permet fer que el sistema aquisiió no es quei enganxat inútilment a un temps e sinronisme que no sigui el orrete. N : Nombre e xips e la seqüènia pseuo-aleatòria. ) Les prinipals iferènies entre un sistema sèrie single well i multiple well són les següents: Single well: El temps integraió és fix i úni. Per aa posiió integra aquest mateix temps. Multiple well: Consisteix a reuir el temps mitjà integraió a aa el la. Si el sistema veu que és possible que s hagi aquirit s assegura tornant a integrar en un temps integraió major. Si onsiera que no hi ha aquisiió la esarta i passa a la següent el la. En el sistema single well, pel fet e tenir un temps integraió fix, el sistema trigarà més a arribar a l aquisiió en mitjana, ja que en posiions que són olentes, s hi estarà el mateix temps que en les bones. Per altra bana si agafem un temps integraió relativament llarg el sistema es farà més lent, tot i que també serà més robust. En el sistema multiple well, fem una primera anàlisi ràpia. Si reiem que és una posiió olenta la esartem, i si reiem que pot ser bona, fem una segona anàlisi més exhaustiva. L avantatge que té aquest mètoe és que en les posiions olentes no perem temps, però això por ser perillós ja que si posem un primer temps integraió massa petit, poem órrer el ris e esartar el les que són bones. 3

136 Problema 3. Donaa la següent seqüènia binària (bipolar), etermineu si té les propietats una seqüènia pseuo-aleatòria. [ ] Soluió S han e omplir tres propietats iferents: Propietat e balanejat: El nombre s y e s només pot iferir en una unitat. A la nostra seqüènia tenim 4 s y 4 s, és a ir que es ompleix. Run property: Coneixem per run el nombre e vegaes que es repeteix un símbol un op s ha ativat. La run property iu que s ha e omplir: o 5% e runs e longitu. o 5% e runs e longitu. o 5% e runs e longitu 3. En el nostre as: [ ] o Runs e longitu 3 e 5. 6% o Runs e longitu e 5. % o Runs e longitu 3 e 5. % Veiem que s aproxima bastant al que ens emana la propietat però no exatament. Propietat e orrelaió: Dintre el períoe bàsi ha e ser similar a la funió autoorrelaió un soroll blan (tipus impulsional o elta e Dira). En la figura e la pàgina següent poem observar om realitzem la autoorrelaió per aasuna e les 8 posiions ins la seqüènia pseuoaleatòria. Veiem que amb la seqüènia perfetament sinronitzaa tenim orrelaió màxima ( 8), om és lògi. En anvi, si ens esplaem només una posiió trobem una orrelaió nul la, la qual osa és molt important ja que porem etetar ràpiament petits esajustos en el sistema. Si observem la figura autoorrelaió globalment poem ir que s assembla bastant a la funió e soroll, ja que és màxima en el, és nul la en la següent posiió i es petita i osil lant a la resta. Si analitzem finalment les tres propietats que s han e omplir perquè una seqüènia es onsieri pseuo-aleatòria, veiem que la primera es ompleix totalment i les altres ues s aproximen molt. Així, poem ir que la seqüènia proposaa es pot onsierar om una seqüènia pseuo-aleatòria força bona, tot i que no e forma estrita. 3

137

138 Problema 3.3 Es pretén issenyar un sistema el lular basat en tenologia CDMA per sistemes alarma en eifiis. Per realitzar el isseny es onsiera que aa pis formarà una el la que es setoritzarà en fator 3. Els ispositius que formen part el sistema alarma presenten les següents araterístiques: - Utilitzen un sistema e seqüènia ireta amb seqüènies PN e longitu 7 xips - Els ispositius transmeten només urant el 3% el temps - La qualitat mínima que se li emana al sistema per a un bon funionament és e E b / Bs - La transmissió es realitza sempre e forma sínrona Caluleu el nombre e ispositius que poen funionar simultàniament a aa vivena tenint en ompte els paràmetres anteriors, que la interferènia entre el les és menyspreable i que la setoritzaió permet tripliar la apaitat per el la. Soluió Els paràmetres el sistema segons l enuniat són els següents: N 7 G p (guany e proés per a un sistema DS) E b / mín Bs / (qualitat mínima requeria pel sistema) G V / (Fator ativitat els ispositius) G A 3 (setoritzaió el guany antena permet tripliar el nombre usuaris per el la) (no hi ha interferènia fora e el la o és menyspreable) (no hi ha fator e orreió per aés asínron) L expressió el nombre màxim usuaris en un sistema DS/CDMA és: M M max max ( E / ) b G p requeria γ GAG V 7 /

139 Problema 3.4 (PRO.4.9. Problema e generaió e seqüènies PN) Expliqueu per què un registre e esplaçament ML (Maximal Length) e n bits no pot generar seqüènies e longitu superior a n -. Soluió Treballarem amb el següent exemple una seqüènia PN generaa amb el següent registre e esplaçament realimentat: X X X3 X4 OUT Una seqüènia PN es genera a partir un registre e esplaçament realimentat onvenientment amb unes onnexions que assegurin les propietats esitjaes aquests tipus e seqüènies. L estat el registre es efineix om el valor el mateix en aa instant. El registre s iniialitza a un ert estat, e manera que es va generant una seqüènia e sortia a mesura que es va esplaçant i realimentant la informaió generaa internament. Veiem, en aquest exemple, que amb 4 registres e esplaçament poríem aonseguir fins a 4 estats iferents. No obstant això, hi ha un estat que haurem e esartar que és el orresponent a la ombinaió [ ]. Aquest estat s ha e esartar ja que si introuïm aquesta ombinaió el generaor es quearia bloquejat i onaria sempre aquesta mateixa ombinaió (om es pot euir a partir el iagrama). Per això veiem que amb un registre e esplaçament e n bits porem aonseguir fins a n - estats iferents, la qual osa implia que obligatòriament la seqüènia e sortia tinrà una perioiitat menor o igual a n -. 35

140 Problema 3.5 (PRO.4.9. Problema e isseny una xarxa el lular) Consiereu un sistema DS/CDMA e seqüènia ireta per issenyar una xarxa e omuniaions e telefonia, en què aa usuari requereix una relaió e 6Bs per una qualitat e veu aeptable. Aquest sistema fa servir una veloitat e xip e 3.68Mxips/s, i la veloitat e transmissió e aes és e 4.4Kbits/s. Assumint el valor els següents paràmetres: γ.5 G V.5.5 Determineu quina és la apaitat e la xarxa. Soluió Abans e omençar amb la resoluió el problema analitzarem els iferents paràmetres que ens onen: R h 3.68 Mxips/s Veloitat e xip (Chip-Rate) R 4.4 Kbits/s Veloitat e transmissió e aes (Data-Rate) (Eb/o) req 6Bs Qualitat requeria γ.5 Fator interferènia per aés asínron G V.5 Voie Ativity Fator.5 nterferènia fora e el la Una vegaa oneixem la informaió que ens onen, alularem el guany el proés (G p ), tenint en ompte que es trata un sistema espetre eixamplat e seqüènia ireta (DS): G p R R h Una vegaa ja tenim el guany el proés ja poem alular el nombre e usuaris per el la a partir e la següent expressió: γ GA G M o V M max γ GA GV Gp ( E / ) b req /.5 6 Per tant el màxim nombre usuaris per el la és e 6. Només omentar que el paràmetre G A fa referènia a la setoritzaió. Com en aquest as no ens iuen res li onen el valor. 36

141 Problema 3.6 Consiera un transmissor espetre eixamplat DS/BPSK om aquest (esquemes a o b): Carrier wave os Coe pulse waveform Data pulse waveform BPSK ata moulator os ω BPSK oe moulator os ω (a) os ω BPSK moulator os ω (b) El senyal x(t) està format per la seqüènia següent a temps e bit:, a una veloitat e 75 bits/seg., onsierant el bit e menys pes el bit que es troba més a l esquerra. g(t) es genera amb un registre e esplaçament om el e la figura següent, amb un estat iniial e i una veloitat e rellotge e 5z. Output Feeba Moulo- aer a) Quin és el guany el proés? b) Quina és l amplaa e bana el senyal transmès? ) Dibuixa la seqüènia eixamplaa transmesa x(t)g(t). 37

142 ) Suposa que el senyal rebut no ha patit ap retar i que el temps e retar estimat en el reeptor T ) (vegeu iagrama següent) és igual a un temps e xip. Dibuixa la seqüènia eseixamplaa. os ω Φ Filter BPSK ata emoulator Output of orrelator e) Explia una manera e eiir per x ) (t) en el reeptor, a partir e la seqüènia eseixamplaa, i ientifia els errors omesos. Quina onlusió en pots treure el resultat? Soluió a) El guany el proés es efineix om G p W ss /R sent W ss l amplaa e bana total e la moulaió espetre eixamplat i R la veloitat e senyalitzaió (etermina l BW el senyal original e bana estreta): Wss 5 xips/s Gp 3 xips/bit R 75 bits/s b) L amplaa e bana el senyal transmesa serà justament l amplaa e bana assoiaa al senyal eixamplament, és a ir: (75 bits/seg.)*3xips/bit 5xips/s 5 z ) Primer e tot, alulem la seqüènia g(t) partint e l estat iniial E(n) [E, E, E, E 3 ]: E E E ( n) [ E ( n) E ( n ) E ( n ), E ( n) E ( n ), E ( n) E ( n ), E ( n) E ( n ) ] 3 3 ( ) [,,, ] E( 4) [,,, ] E() 8 [,,, ] E( ) [,,, ] () [,,, ] E() 5 [,,, ] E() 9 [,,, ] E( 3) [,,, ] ( ) [,,, ] E( 6) [,,, ] E( ) [,,, ] E( 4) [,,, ] () 3 [,,, ] E( 7) [,,, ] E( ) [,,, ] E E Com es pot omprovar, el següent estat E(5) tornaria a ser el E() [,,,], per tant ja tenim alulat el períoe fonamental e la seqüènia PN, agafant el arrer bit e l estat en aa instant, és a ir: g(t)[] en un sol períoe i a nivell e xip. 38

143 Anem a representar x(t) i g(t) per veure una forma gràfia el que va passant. Consierem el mapat següent entre el valor els bits i les amplitus bana base els senyals:, - x(t) g(t) x(t)g(t) ) El resultat obtingut en l apartat a) eseixamplat amb la seqüènia g(t) esplaçaa una posiió (és a ir, un temps e xip T ), és el següent: x(t)g(t) g(t - T ) Suma XOR: Resultat en format polar: e) El riteri per a eiir la informaió rebua seria el apliar un llinar segons la moulaió empraa esprés aumular el senyal eseixamplat urant el temps e símbol (3 xips), per tant: Senyal eseixamplat: Senyal aumulat: 3 Senyal etetat: xˆ () t Senyal original: x(t) xˆ t x t Errors: () () Com es pot observar, hi ha tres bits erronis a ausa e la mala sinronitzaió el senyal. Això emostra que el sinronisme en un sistema espetre eixamplat, al que tingui un error estimaió inferior al temps e xip. 39

144 Problema 3.7 Un registre e esplaçament realimentat proueix seqüènies PN e 3 bits a una veloitat e rellotge e Mhz. Quina és l equaió i el gràfi e la funió autoorrelaió e la seqüènia? Calula i justifia la ensitat espetral e potènia a partir el àlul e la Transformaa e Fourier e la funió autoorrelaió. Pots assumir que el polsos prenen valors e /-. Soluió Sabem que la funió autoorrelaió normalitzaa una seqüènia PN te la següent forma per una uraa e xip normalitzaa a T, i que els pis es troben a múltiples el seu períoe: Perio in number of hips Normalize hip uration En el nostre as, una seqüènia e N 3 bits té una funió autoorrelaió amb el valor màxim a valors e τ i múltiples e N T que ereix linealment ap a -/3 per a τ T. En aquest as el temps e xip és T /Mz. μ seg, per tant els màxims e la funió autoorrelaió estaran situats a múltiples e N T 3. μs. R ( τ ) g NT / N T NT / g( t) g( t τ ) τ 3 3 τ 3. Λ. 6 6 R g (τ)... -T T.μs -/3 τ 4

145 4 L anterior expressió e la funió autoorrelaió e la seqüènia PN permet interpretar-la om una suma una omponent ontínua negativa (-/3) més una suma periòia e polsos triangulars amplitu (/3) i esplaçats a múltiples e la longitu e la seqüènia PN. Si ara alulem la Transformaa e Fourier porem saber quina és la ensitat espetral e potènia. Per fer-ho, al reorar algunes transformaes bàsiques, om les una onstant, les un pols retangular (que permet alular la un pols triangular fent la onvoluió en temps e os polsos retangulars), i la un tren e eltes e Dira, la que es pot expressar a partir e la seva sèrie e Fourier: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Π Π Λ g g N T f N T N f N N T f f T T f T T T b f a N T T T T b a F T N T T b a F T R F T f G δ δ δ δ τ δ τ τ τ δ τ τ sin sin sin.... ) (.. ) ( Així, la gràfia aproximaa que obtenim és la següent: Com es pot apreiar en la figura anterior, l amplaa e bana el senyal eixamplament és aproximaament igual a ( ) Mz T N T N BW / / f N T G g (f)

146 Problema 3.8 Consierem un sistema F/MFSK om el que es mostra a ontinuaió: Transmitter Channel Reeiver Data MFSK moulator F moulator F emoulat MFSK emoulat Data PN generator nterferene PN generator El generaor e la seqüènia PN es realitza amb un registre e esplaçament realimentat amb portes XOR e etapes, i és una seqüènia e longitu màxima. Caa estat iferent el registre efineix una freqüènia e salt el sistema. La mínima separaió entre freqüènies e salt és e z. La veloitat el rellotge que guia el generaor és e Kz. Assumeix una moulaió 8-FSK amb una veloitat e transmissió e.kbits/s. a) Quina és l amplaa e bana e hopping? b) Quina és la veloitat e xip? ) Quants xips hi ha en aa símbol? ) Quin és el guany el proés? Soluió a) Ens iuen que la separaió mínima entre freqüènies e salt és e z. D altra bana, si el generaor està format per un registre e posiions i la seqüènia és el tipus ML, la seqüènia estarà formaa per bits. Per tant el sistema realitzarà fins a possibles salts a iferents freqüènies e salt, e manera que, onsierant la separaió mínima e z, l amplaa e bana e salt serà: ( ) Δf Mz Wss hop 75 b) El temps e xip oinieix amb el temps e rellotge el generaor PN, per tant serà e K xips/s. ) Per saber quants xips hi ha a aa símbol, primer alulem la veloitat e senyalitzaió igital: El nombre e xips per símbol serà:.k bits / s R 4 símbols / s 4bau log 8 bits / simbol 4

147 xips / s 4 símbols / s 5 xips / símbol ) Sabem que el guany el proés es alula om el quoient entre: G p En què W ss és l amplaa e bana eixamplament i R és la veloitat e transmissió en bits/s. Per tant: W R ss G p W R ss Problema 3.9 Una font entraa a un oifiaor e anal (amb veloitat ½) té una veloitat e transmissió e 75 bits/seg. Els bits oifiats es moulen amb una 8-FSK. Els símbols FSK s eixamplen mitjançant salts e freqüènia a raó e salts/seg. a) Quin és el temps e xip el sistema? b) Quin és l orre e iversitat (núm. e repetiions per símbol o salts per símbol)? ) Si hi ha fonts (amb veloitats i oifiaió e anal om la e l enuniat) multiplexaes amb ivisió temporal (TDM) i mantenint la mateixa freqüènia e salt, om reus que això afetarà el temps e xip, la veloitat e símbol i l orre e la iversitat? ) Repeteix l apartat però onsierant ara 8 fonts iguals multiplexaes en temps. Soluió a) Ens iuen que les freqüènies e hopping que separen els símbols són e hops/seg. Així, la uraa un salt és e.5 mseg. En anvi, la uraa un símbol és e: T s 75 log 8 bits/símbol ms/símbol bits/s bits o/bits info Veiem que tenim més un salt en aa uraa un símbol, per tant ens trobem en el as un sistema Fast Frequeny opping (FF) i per tant poem ir que el temps e xip serà el més petit, que en aquest as és e.5 mseg. 43

148 b) En aquest as, la freqüènia e salt és major que el bau-rate, per tant onsierem que la uraa e xip és la uraa un salt, per tant, tenim que el temps e xip és e 4 4 / 5 s/salt 5 s/xip. La iversitat serà, per tant: N s/símbol 4 s/xip xips/símbol ) En haver ues fonts multiplexaes en el temps, la veloitat final esprés e la multiplexaió temporal serà e (75 ) 3 bits/s, ja que aa font aporta un bit rate oifiat e 5 bps. Per tant, els nous temps i veloitat e símbol són: log 8 bits/símbol T s ms/símbol 75 bits/s bits o/bits info fonts Rs simbols/s T s La uraa o temps e salt no pateix ap anvi pel fet e tenir més una font, ja que ens iuen que es manté la veloitat e salt e salts/s. Per tant, el temps e xip segueix sent e.5 mseg, ja que ontinua sent un valor més petit que el temps e símbol. El nou orre e iversitat és, per tant: N s/símbol s/xip xips/símbol ) En haver 8 fonts multiplexaes en el temps, la veloitat final esprés e la multiplexaió temporal serà e (75 ) 8 bits/s, ja que aa font aporta un bit rate oifiat e 5 bps. Per tant, els nous temps i veloitat e símbol són: log 8 bits/símbol T s.5 ms/símbol 75 bits/s bits o/bits info 8 fonts Rs 4 simbols/s T s La uraa o temps e salt no pateix ap anvi pel fet e tenir més una font, ja que ens iuen que es manté la veloitat e salt e salts/s. Ara, per tant, el temps e xip és e.5 mseg, ja que el temps e salt és ara la meitat el temps e símbol, per la qual osa onsierem aquest el valor el temps e xip. El nou orre e iversitat, però, en aquest as, serà menor que la unitat, en haver-hi menys salts que símbols: N s/símbol.5 s/salt salts/símbol Per tant el sistema ja no té iversitat en no haver iversos salts en un mateix símbol. En aquest as, el sistema és un Slow Frequeny opping (SF). 44

149 Problema 3. Sobre la moulaió en espetre eixamplat ontesta a les següents preguntes, tot ajuant-te e ibuixos per realitzar les teves expliaions: a) Comenta quins prinipals avantatges ofereixen respete a les moulaions onvenionals e bana estreta. b) Justifia om es realitza l eixamplament el senyal pels iferents tipus e moulaions. ) Comenta les prinipals propietats que han e omplir les seqüènies pseuo-aleatòries. Soluió a) Els prinipals avantatges e les moulaions espetre eixamplat enfront e les onvenionals e bana estreta són:.- Supressió interferènies: En oupar un amplaa e bana força major e l estritament neessària i en basar-se en l ús un oi propi i espeífi per al proés e moulaió, es ifiulta (tot augmentant, per tant, la imensió el senyal transmès), el proés interferènia per part e terers que seriosament ifiultat en no onèixer la ubiaió o la ireió exata el senyal. Aquest proés generalment fa que una part important e la potènia e la interferènia quei filtraa pel mateix proés e eseixamplament, tal om es veu en la figura, ja que només la potènia ins l amplaa e bana útil aaba realment interferint en el proés e eteió: Abans e eseixamplar Després e eseixamplar Amplaa e bana útil.-reuió e la ensitat espetral: L eixamplament provoa una reuió e la potènia per z transmesa (tal om s observa en la figura anterior), osa que provoa un augment e la apaitat e no-intereptabilitat el senyal, ja que aquest pot 45

150 eaure fins i tot per sota el soroll e fons en el anal. Aquesta és una e les propietats que va motivar l ús aquestes tèniques en apliaions militars. 3.- Augment e la resoluió temporal: Els senyals e més amplaa e bana presenten una forma ona més resolutiva temporalment. Això propiia araterístiques interessants, om per exemple, la propietat e robustesa enfront el multiamí, que es basa a poer etetar i separar iferènies e retars força menors al temps e símbol, poent fins i tot ombinar e forma onstrutiva en el reeptor les iferents omponents etetaes. Això fa que siguin moulaions amb apaitat afrontar amb garanties la seletivitat freqüenial un anal, traient-ne fins i tot, un benefii en forma e iversitat i major SNR e la que obtinríem amb una moulaió onvenional. 4.- Augment e la imensionalitat: En usar ois propis per a la transmissió, la moulaió en espetre eixamplat permet e ompartir un mateix anal temporal/freqüenial (és a ir, alhora i en la mateixa bana e freqüènies) amb una altra transmissió que fai ús un oi iferent (CDMA). Aquesta propietat fa que sigui possible un augment apreiable e la apaitat un anal onat respete a una moulaió onvenional. b) Moulaió DS-SS (Diret-Sequene Sprea Spetrum). Es realitza un proute temporal el senyal bana-base per una forma ona periòia basaa en una seqüènia pseuo-aleatòria binària (PN) e bana ampla, en què el períoe més petit (períoe e xip) és força menor al períoe e símbol, tal om es pot veure en la figura següent. La propietat e proute en temps- onvoluió en freqüènia e la transformaa e Fourier eixa entreveure que l espetre el senyal bana-base (espetre estret) quearà eixamplat a ausa e la seqüènia/oi PN. os ω BPSK moulator os ω Moulaió F-SS (Frequeny-oping Sprea Spetrum). En aquest as, el generaor pseuo-aleatori s utilitza per a governar anvis e la freqüènia e portaora una moulaió en bana estreta om és la MFSK, i amb salts e freqüènia força més amples que els prouïts per la mateixa moulaió en banabase. Els salts poen ser e freqüènia omparable al períoe e símbol (Slow- Frequeny-oping) o e freqüènia força major (Fast-Frequeny-oping), però en tots os asos, l amplaa e bana major el senyal moulat és egua al marge e salts que provoa el generaor PN. 46

151 Transmitter Channel Reeiver Data MFSK moulator F moulator F emoulat MFSK emoulat Data PN generator nterferene PN generator ) Les prinipals propietats que han e omplir les seqüènies PN són les següents:.- Balanejat: El senyal requereix tenir un bon balanejat entre el nombre e uns i e zeros e la seqüènia, e manera que isrepin en, om a màxim, una unitat..- Run property: Un run es efineix om una seqüènia el mateix valor ( o ) i es arateritza per la seva longitu. La seqüènia hauria e omplir (el millor possible) ertes estaístiques sobre els runs e la seqüènia. La meitat e longitu, un quart e longitu, un vuitè e longitu 3, et Propietat e orrelaió: La similitu e la seqüènia amb versions esplaçaes e lla mateixa ha e reuir-se a valors molt baixos. Cal reorar que el soroll blan presenta una funió e orrelaió elta, essent això un iniaor e gran ontingut freqüenial. Cal tenir en ompte que en tratar-se e senyal pseuo-aleatoris la seva funió autoorrelaió serà periòia Perio in number of hips Normalize hip uration Problema 3. En un sistema e telefonia mòbil el lular CDMA, amb seqüènies PN quasi però no perfetament ortogonals, es vol isposar una apaitat màxima e 5 usuaris per a una qualitat e transmissió mínima e 9 B s. Calula urant quin % el temps haurien e transmetre els mòbils si el sistema té les següents espeifiaions: - Amplaa e bana isponible: 6 Mz (suposeu tot per a un úni enllaç) - Font: anals e veu igital en format DPCM e Kbps 47

152 - Proteió ontra errors: oi e veloitat /3 i guany e oifiaió e 4 Bs - La interferènia fora e el la és el 55% respete e la interferènia provinent e la mateixa el la - Fator interferènia per aés asínron γ.5 - Tres anals e reservats per a ontrol i gestió el tràfe Suposant les espeifiaions onaes invariants, raona què sueiria si la taxa e % e temps e transmissió alulaa augmentés o isminuís respete el valor alulat i es volgués mantenir el nombre usuaris a 5. Raona també què passaria si aquesta taxa es oblés, o bé, es iviís per os, respete el valor alulat anteriorment, si el que es vol mantenir és, en anvi, la mateixa qualitat e transmissió e 9 B s. Soluió Amplaa e bana per anal: 3 3 bits oifiats [ bits e info/s] bits e info [ ] [ ] [ z] [ bit oifiat/s] 3K Qualitat e senyal requeria: Tenint en ompte que el oi orretor té un guany e 4 B s i aproximant les interferènies altres usuaris per soroll Gaussià, la qualitat e senyal emanaa pel sistema serà: 5 min b min oi E / E / N G B b 3.6 [ z] G p Guany e proés: Wss Wanal 6 Mxips/s R R 3 Kbits/s xips/bit M Nombre usuaris: γ Gp GV.5 G E (.5 3) anals V max GV ( b / ) requeria.4539 Per tant el fator ativitat e veu serà e /G V.475, és a ir, que els mòbils hauran e transmetre un màxim el 4.75% el temps per garantir la qualitat e senyal emanaa. Si el valor e /G V (tant per el temps e transmissió) augmentés, i es mantingués el mateix nombre usuaris, aleshores aa usuari provoaria una interferènia major sobre la resta usuaris (en tratar-se e seqüènies no perfetament ortogonals), e manera que la qualitat e senyal isminuiria i això faria empitjorar la qualitat e la transmissió o augmentar el nombre errors (BER). En as ontrari, en isminuir el temps e transmissió i mantenir el nombre usuaris, la interferènia isminuiria proporionalment, osa que faria augmentar la qualitat el servei. Per exemple: 48

153 ( E / ) b requeria γ Gp M max ( / G ) V Si, en anvi, es volgués mantenir la mateixa qualitat e transmissió, aleshores, en oblar el temps e transmissió l augment interferènia farà que el nombre màxim usuaris quei reuït a la meitat, mentre que en iviir per os el temps e transmissió aquest nombre màxim usuaris augmentaria e forma inversament proporional multipliant-se per os: ( / G )' ( / G ) V ( / G )' ( / G ) V V V / M M max max ' ' γ G ( E / ) ( / G ) max ( E / ) ( / G )/ b b γ G requeria p p requeria V V M M max Problema 3. Sobre els sistemes espetre eixamplat e seqüènia ireta (DS-SS) i e salt ràpi e freqüènia (FF-SS): a) Dibuixa els esquemes el moulaor i el esmoulaor ambós sistemes, i esriu el seu funionament. Argumenta, ajuant-te e ibuixos, om i per què es proueix l eixamplament espetral en aa as en el moulaor, i om es garanteix la ortogonalitat entre usuaris iferents en reepió. b) Dibuixa els esquemes aquisiió més ràpis per a aasun els os sistemes i omenta n el seu funionament. Expressa el temps mitjà aquisiió aquests esquemes en funió e la probabilitat e eteió (P D ) i el temps màxim aquisiió (λt ), i omenta on surt l expressió. ) Explia un sistema e traing que eviti el problemes e mal balanejat a ausa e iferènies en la síntesi els filtres usats. Dibuixa el iagrama e blos i etalla el seu funionament ajuant-te els ibuixos neessaris. Soluió a) A ontinuaió es ibuixen els esquemes el moulaor i esmoulaors el sistema e seqüènia ireta (DS-SS) basats en una moulaió e fase om és la BPSK: 49

154 Moulaor DS SS os ω BPSK moulator os ω Desmoulaor DS SS os ω Φ Filter BPSK ata emoulator Output of orrelator L eixamplament espetral es proueix pel fet e la propietat e moulaió e la Transformaa e Fourier, e manera que en multipliar el senyal bana base e bana estreta x(t) per la seqüènia e bana ampla g(t) en el omini e la transformaa e Fourier es realitza una onvoluió entre els os espetres, fent que a la sortia aquest hagi estat engruixit e forma proporional a l amplaa espetral e g(t). La ortogonalitat entre usuaris quea garantia pel fet esollir seqüènies sufiientment ortogonals entre elles, segons l equaió: T g i T () t g () t t g () t t j i j << Aomplint aquesta equaió la sortia el orrelaor en el esmoulaor només tinrà la omponent assoiaa a l usuari interès, mentre que la ontribuió e la resta usuaris haurà queat minimitzaa. A ontinuaió es ibuixen els esquemes el moulaor i esmoulaors el sistema e salt e freqüènia (F-SS) sobre una moulaió e freqüènia MFSK: i 5

155 Transmitter Channel Reeiver Data MFSK moulator F moulator F emoulator MFSK emoulator Data PN generator nterferene PN generator Moulaor F SS Desmoulaor F SS En aquest as, l eixamplament freqüenial es proueix gràies als salts e freqüènia que inia el generaor e seqüènia PN sobre la freqüènia e portaora, i generalment força majors que no pas els prouïts per la mateixa moulaió e base (MFSK). El reeptor se sintonitza a aquests mateixos salts i els anel la, permetent la esmoulaió e la informaió transmesa que iniquen els salts més petits. A ontinuaió es pot veure un exemple e funionament, en què es veuen tres salts sobre una 8-FSK. Tone 3 Tone Tone Typial ata R 5 bits/s Tone number Tone Data symbol f 75 z f 5 z f 75 z Frequeny hopping ban 3 f 5 z 4 f 5 z 5 f 75 z 6 f 5 z Symbol interval ( mseg) Time 7 f 75 z La ortogonalitat entre usuaris iferents, en aquest as, es garanteix pel fet que només el reeptor e l usuari interès ompensarà orretament les variaions e freqüènia e portaora, e manera que els senyals els altres usuaris quearan fora e la bana e eteió, minimitzant-ne la influènia sobre el senyal interès. b) Els sistemes aquisiió més ràpis són els paral lels: Pel sistema DS-SS, es isposen e N orrelaors amb la seqüènia PN retaraa amb ealatges e T /, en què T és el temps e xip i N és el número e xips e la 5

156 seqüènia (a guany e proés). El orrelaor que óna una sortia major esprés el temps e símbol és el que tinrà la seqüènia millor alineaa amb el senyal entrant. Loally generate oe Sistema aquisiió paral lel per a DS SS / Reeive oe signal... /... Comparator Output Pel sistema F-SS, en anvi, el senyal rebut es multiplia per les N freqüènies el patró e repetiió que proueix l osil laor loal (seq. PN) en el transmissor. D aquesta forma, esprés apliar un filtre passa bana (que inlogui tota la bana passant e la moulaió MFSK) i el onvenient retar e les iferents branques per tal alinear-les tenint en ompte tal om es generen en l emissor (f f f 3... f N ), quan aparegui el xip assoiat a la freqüènia e portaora moulaa amb f N la resta e branques estaran ja alineaes temporalment amb la arrera (assoiaa a aquesta freqüènia), onant llo a un màxim a la sortia, que iniarà un moment e sinronitzaió. 5

157 Sistema aquisiió paral lel per a DS SS El màxim temps aquisiió, suposant que en els esquemes només s analitzen fins a λ xips (orrelaors), serà e λt. Ara bé, tenint en ompte que la probabilitat e eteió P D és la probabilitat e eiir orretament si s està aquirit (en funió e la omparativa el valor e sortia e l esquema amb un ert llinar preestablert), es pot efinir el temps mitjà aquisiió om: T λt λ T P λt P ( P ) 3λT P ( P ) λt P ( )( PD ) P aq D D D D D D K En aquest òmput s ha tingut en ompte que quan la eisió presa és errònia al esperar λt més fins a la propera omparaió per prenre la eisió posterior. Per exemple, el segon terme e la suma té en ompte que esprés e la primera omparativa amb error (amb probabilitat -P D ) alrà esperar el oble e temps fins a prenre la eisió orreta. ) El sistema e traing que evita el problema e mal balanejat és el Tau-Dither Loop: Aquest sistema evita el problema e mal balanejat els filtres e les ues branques un sistema Delay-Loe Loop ja que inorpora una únia brana, per omptes e ues, que va alternant la fase e l osil laor e seqüènia D 53

158 PN enavant i enarrere alhora que injeta un senyal error en el bule tanat per garantir una erta estabilitat al voltant el punt interès (traing). El sistema e ontrol s enarrega anar alternant entre les versions Early i Late que orresponen a versions avançaes i retaraes respete el punt òptim e traing. D aquesta forma, el sistema pot realitzar la orreió aequaa e la fase el generaor per intentar obtenir unes variables equilibraes per a les ues versions. Només quan el sistema es troba orretament sinronitzat, el eseixamplament proueix una onentraió e l energia al voltant e la freqüènia e portaora, e manera que a la sortia el filtre passabana es eteta una energia omparable (similar) per a les ues versions. Problema 3.3 Compara la apaitat, en núm. usuaris per el la, els enllaços e pujaa (uplin) e os sistemes e telefonia mòbil el lular amb les següents espeifiaions, sabent que l amplaa e bana isponible és e 4 Mz en ambós asos: Sistema : - Font: e anals e veu analògia e 3 Kz amplaa e bana - Transmissió analògia mitjançant multiplexaió per ivisió en freqüènia - Reuse-fator basat en el patró e la figura - Dos anals e reservats per a ontrol i gestió el tràfe Sistema : - Font: anals e veu igital en format PCM e Kbps - Proteió ontra errors: oi e veloitat /3 i guany e oifiaió e Bs - Transmissió igital multiplexaió per ivisió per oi, i amb moulaió DS-SS amb la orba e probabilitat error e la figura. - Fator ativitat e veu el 4% 54

159 - La interferènia fora e el la és el 6% respete e la interferènia provinent e la mateixa el la - Fator interferènia per aés asínron γ.5 - Tres anals e reservats per a ontrol i gestió el tràfe - Qualitat requeria amb probabilitat error màxima e. Figura Figura Soluió Capaitat el sistema : Amplaa e bana isponible: tenint en ompte el Reuse-fator e 7 euït a partir e la figura : 6 4 [ z] BW isp 5. 7Mz 7 Setors [ ] Núm. e anals isponibles: [ z] N 3 3 z / anal [ ] 9 anals El nombre usuaris per el la serà 9 menys els anals assoiats a tasques e ontrol i gestió e tràfe ( anals), per tant 88 usuaris. Capaitat el sistema : Amplaa e bana per anal: 3 3 bits oifiats [ bits e info/s] bits e info Qualitat e senyal requeria: [ ] [ ] [ z] [ bit oifiat/s] 5K [ z] 55

160 E b Segons la probabilitat error emanaa (.) i la gràfia e la moulaió empraa (figura ), al una E b / N 8. 4 B min aproximaament. Tenint en ompte que el oi orretor té un guany e B s i aproximant les interferènies altres usuaris per soroll Gaussià, la qualitat e senyal emanaa pel sistema serà: 6.4 min b min oi / E / N G B 4.36 Guany e proés: W Gp R ss W R anal 4 Mxips/s 5 Kbits/s 667 xips/bit Nombre usuaris: γ G M max E p V b / requeria ( ) G ( /.4).434 anals El nombre usuaris per el la serà.434 menys els anals assoiats a tasques e ontrol i gestió e tràfe (3 anals), per tant.43 usuaris. RESUM En aquesta sessió s ha proposat un ompeni e problemes sobre el apítol e moulaions avançaes. 56

161 SESSÓ 4: Carateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió FTXA DE LA SESSÓ Nom: Carateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió Tipus: problemes Format: no presenial Duraa: hores Treball a lliurar: no Material: o Bibliografia bàsia: [Slar] [Proais] [Sooro8] OBJECTUS En aquesta sessió es proposa una ol leió e problemes resolts sobre el tema e arateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió. CONTNGUTS A ontinuaió es mostren els problemes sobre el apítol e arateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió. En els asos en què un problema estigui assoiat a la guia estui e l assignatura s inia just abans e l enuniat amb la referènia orresponent en la mateixa guia. 4. Carateritzaió i mitigaió els efetes el anal e transmissió Problema 4. (PRO.5.4. Problemes sobre anal, Problema ) En un sistema e omuniaions mòbils que treballa a una veloitat e senyalitzaió e Kbaus/s el senyal és istorsionat per l efete multiamí el anal tot provoant un eixamplament temporal el mateix. Les mesures realitzaes en el anal iniquen que la ispersió mitja és e μs, mentre que el segon moment e la ispersió és e.8 s. a) Caluleu l amplaa e bana e oherènia f efinia om el marge e freqüènies ins el qual la funió e transferènia el anal té una orrelaió superior a.9. 57

162 b) Realitzeu el mateix àlul onsierant ara un fator e orrelaió superior a.5, moel més aequat per a anals e omuniaió mòbils (moel e sattering ens). ) Avalueu e forma raonaa si la transmissió el senyal patirà esvaïments seletius en freqüènia. Soluió a) Primer alulem el valor r.m.s. e l eixamplament temporal: σ τ τ τ En segon llo, ja poem alular l amplaa e bana e oherènia amb un fator e orrelaió e.9: f 36 z 5 b) En aquest as fem servir l expressió e àlul per un fator e orrelaió.5: σ τ.76 f 3859 z σ τ ) En el as e omuniaions mòbils és més aeptat el moel e sattering ens, amb una amplaa e bana e oherènia que tingui en ompte un fator e orrelaió superior a.5. D altra bana, l amplaa e bana e la moulaió és e Kz < 3 Kz, per tant en prinipi la omuniaió no patirà l efete e la istorsió en freqüènia, e manera que el anal es veurà om un anal no seletiu en freqüènia. Problema 4. (PRO.5.4. Problemes sobre anal, Problema ) Donat un anal e omuniaió mòbil (sense fils) amb un perfil e retar e potènia format per tres impulsos amb potènies i temps arribaa relatius següents: (- B, μs),( B, μs),(- B, 3 μs). Contesteu les següents qüestions: a) Caluleu la ispersió temporal mitja. b) Caluleu el segon moment e la ispersió. ) Caluleu l eixamplament temporal quaràti mitjà (valor r.m.s.). ) Caluleu l amplaa e bana e oherènia, tenint en ompte un fator e orrelaió major o igual que.9. 58

163 e) Si el reeptor es troba ins un avió que viatja a 8 Km/h, i el temps en què l avió reorre mitja longitu ona el senyal és e μs, aluleu un valor aproximat e la freqüènia e portaora. f) Suposant que la freqüènia e portaora és e Gz, aluleu l eixamplament Doppler f i el temps e oherènia T. g) Caluleu el temps e retar total provoat pel sistema entrellaçat e la informaió, si es issenya amb una profunitat entrellaçat vegaes superior al temps e oherènia el anal. És aeptable aquest retar per a una omuniaió e veu? Soluió a) Primer passem les potènies e aa omponent multiamí a valors lineals: B B B.. Ara ja poem alular el retar o ispersió temporal mitja: ( τ ) S τ.. 3 τ.7 μs S.. ( τ ) b) Calulem el segon moment e la ispersió proeim e forma similar a l apartat a: τ S ( τ ) S τ ( τ ) 6 6 ( ). ( 3 ) s ) Amb els resultats els apartats anteriors poem alular el valor r.m.s. e l eixamplament temporal: σ τ τ τ μs ) Proeim amb l expressió e àlul e l amplaa e bana e oherènia assoiaa a una orrelaió major o igual a.9: f 5 σ τ 575 z e) Primer, la veloitat l expressem en unitats e [m/s]: 59

164 m h 8 Km / h. m / s Km 36 s A ontinuaió, sabem que λ/ és l espai reorregut per l avió urant μs, per tant: λ vt. λ Tenint en ompte la relaió entre la longitu ona amb la freqüènia enviaa (e portaora) i la veloitat e les ones eletromagnètiques (la llum), poem trobar: m f 8 3 λ Gz f) L eixamplament Doppler es relaiona amb la veloitat el mòbil segons la següent equaió: f v vf λ z Calulem ara el temps e oherènia om:.5.5 T 675 μs f g) Calulem el temps entrellaçat, vegaes superior al temps e oherènia alulat a l anterior apartat: T L T ms El temps total ha e tenir en ompte l entrellaçat i el esentrellaçat, per tant: T TL 3.5 ms < ms Per tant el resultat és aeptable per a una omuniaió per veu, en què mseg és el màxim retar tolerable. Problema 4.3 (PRO.5.4. Problemes sobre anal, Problema 3) En un sistema e omuniaions mòbils e terera generaió es fa servir la moulaió DS-SS (Diret Sequene Sprea Spetrum) amb l objetiu evitar els efetes perjuiials que la propagaió multiamí pot provoar sobre la fiabilitat e la omuniaió. El anal onsisteix en un amí e visió irete més una primera reflexió que reorre m més que l anterior. 6

165 a) Calula el temps e xip mínim que garanteix el bon funionament el sistema si es vol treballar amb seqüènies PN amb guany e proés 55. b) Consierant que el anal té una resposta freqüenial el tipus jπ f Δτ ( f ) α α e en què α i α són onstants reals positives, i Δτ és el temps e retar entre el amí e visió irete i la primera reflexió. Calula el valor e la freqüènia més gran ins e la bana e transmissió que tinrà una vall espetral si es transmet informaió a Kbaus/s amb un guany e proés N 55 i la freqüènia e portaora és e 8 Mz. Soluió a) La moulaió DS-SS permet afrontar la seletivitat freqüenial un anal e omuniaions sempre que l eixamplament temporal no superi el temps e símbol (uraa e la seqüènia PN), és a ir: T m < NT en què T m és l eixamplament temporal en seg., N és el guany e proés (N 55) i T és el temps e xip utilitzat. Per alular T m ho fem tenint en ompte que la iferènia e amins és e metres, per tant: T m m -7 4 s 8 3 m/s Per tant el temps e xip mínim que garanteix un bon funionament el sistema serà: T T m min N.56 ns b) Tenint en ompte el moel e la resposta freqüenial el anal, es pot veure que les valls espetrals s assoliran quan els os fasors involurats es trobin en ontrafase. Això ho poem expressar matemàtiament om segueix: Δϕ π f Δτ π π Z D aquí poem aïllar les freqüènies f en què es poen trobar les valls espetrals: f π π π Δτ Z D altra bana, onsierant les aes e l enuniat poem alular: 6

166 . El retar entre els os amins és equivalent a l eixamplament temporal el 7 anal Δτ T 4 s m. L amplaa e bana el senyal transmès: W NR Mz / b T Tb N 3. La freqüènia màxima e la bana el senyal transmès: fmax f W / Mz Per tant, al trobar el valor enter e màxim que ompleix la següent oniió: La soluió és: f π π < π < / En efinitiva la freqüènia més gran ins e la bana e transmissió que tinrà una vall espetral és: 74 / f 8.5 Mz 7 4 Problema 4.4 Per tal que un sistema entrellaçat e la informaió subministri la sufiient iversitat temporal a un sistema e omuniaions (onjuntament amb el sistema e orreió errors) és freqüent fer ús e la regla que el temps entrellaçat T L sigui almenys eu vegaes el temps e oherènia el anal. a) Dibuixa un gràfi e T L en funió e la freqüènia e portaora (agafant les freqüènies e Mz, 3 Gz i 3 Gz), pels següents anals mòbils: i) passeig lleuger ( m/s), ii) Tren alta veloitat (5 m/s) b) Si el sistema e omuniaió requereix la omuniaió e veu en temps real, quin els 6 punts ibuixats permeten el orrete funionament el sistema entrellaçat? ) Quines onlusions pots extreure n? Soluió Gràfi e T L enfront e freqüènia e portaora: Poem trobar el temps e oherènia om: T o.5.5 f f v 6

167 (i) Per un passeig lleuger (v m/s) trobem: f Mz To.5s TL 5s M f 3Gz To.5s 5ms TL. 5s 3G f 3Gz To.5s 5ms TL 5ms T L 3G (ii) Per un tren e alta veloitat (v 5 m/s) trobem: f Mz To.3s 3ms TL 3ms M f 3Gz To.s ms TL ms 3G f 3Gz To.s μ s TL ms 3G 5 63

168 b) Per una omuniaió e veu en temps real ens interessa que hi hagi el retar temporal e la omuniaió no superi els mseg. Donat que l entrellaçat implia una etapa interleaving a l emissor i una e einterleaving al reeptor, això suposa que la profunitat entrellaçat no pot superar els 5 mseg. Per tant, serien possibles els següents punts e treball: - Tren e alta veloitat (v5m/s) amb freqüènies e portaora e 3 Gz o 3 Gz. - Passeig lleuger ( m/s) amb freqüènia e portaora e 3 Gz. ) Conlusions: A baixes freqüènies i veloitats, el temps entrellaçat es molt elevat. L entrellaçat pot fallar a veloitats baixes a ausa que pot estar molta estona en un esvaïment. D altra bana, om més baixa és la freqüènia e portaora la longitu ona és major, fent que la iferènia e veloitats entre l ona eletromagnètia que viatja i el mòbil provoquin anvis e freqüènia menors, i en efinitiva, temps el anal molt més lents (o temps e oherènia majors). Problema 4.5 Un sistema e telefonia mòbil sense fils amb TDMA opera a 9 Mz e portaora i amb un tren alta veloitat a 8 m/hora. Per tal e isposar una estimaió e la resposta impulsional el anal per a l equalitzaió el senyal rebut aa usuari transmet un onjunt e bits entrenament, a més a més e la seva pròpia informaió. Es requereix que el número e bits entrenament sigui e, que aquests no oupin més un % respete e la informaió total transmesa i que es proueixi un soneig el anal almenys aa 5% el temps e oherènia el anal. Suposant que la moulaió usaa és binària, alula la mínima veloitat e transmissió que permet assolir aquests requeriments sense que el sistema e transmissió experimenti esvaïments ràpis. Soluió Amb bits entrenament, alran om a mínim 8 bits informaió per tal que no oupin més un % e la informaió total transmesa. Aquests bits hauran estar entre sonejos en què el temps e soneig es un quart el temps e oherènia (.5T ). Per trobar el temps e oherènia haurem e trobar primer la freqüènia e Doppler, tenint en ompte que el tren es mou a 5 m/s: v v f 5 9M f z λ T. ms o f Tsoneig.5 To. 3947ms 64

169 Llavors, poem trobar la mínima veloitat e transmissió om: v TX bits T soneig bits/s Aquesta es la veloitat e transmissió mínima que ompleix els requeriments sense que el sistema experimenti esvaïments ràpis, e manera que es puguin seguir les variaions estaístiques el anal amb l estimaor e anal i realitzar les posteriors equalitzaions o retifiaions el senyal rebut. Problema 4.6 Un sistema e omuniaions mòbils treballa a una veloitat e transmissió e Kbits/s, la moulaió QPSK i una freqüènia e portaora e 9 Mz. El sistema està expressament pensat per a treballar amb vehiles que viatgin a 96 m/hora. a) Quin és l error e fase aproximat que s experimentarà en aa símbol rebut a ausa el moviment el vehile? b) Quin és ara l error e fase si es reueix la veloitat e transmissió a Kbits/s? ) Repeteix b) per a una veloitat e 48 m/hora. ) Resumeix les teves onlusions els resultats anteriors. Soluió a) Error e fase el poem expressar om: Δθ max simbol graus simbol f R s o [ iles / s] 36 [ simbols / s] ile Per tant, primer hem e alular la freqüènia Doppler a partir e la freqüènia e portaora, la veloitat el vehile i la veloitat e les ones: v f v 9M f z λ 8 3 Ara ja poem alular l error e fase per aa símbol rebut, tenint en ompte que la moulaió és una QPSK que utilitza bits per símbol, per tant la veloitat e senyalitzaió és e Kbaus/s: Δθ max [ iles/ s ] simbol K[ simbols/ s] o ile o / simbol 65

170 b) Error e fase erementant la veloitat e Tx a Kbps: Δθmax simbol 5K [ iles/ s] [ simbols/ s] o 36.6 ile o / simbol ) Repetir l apartat b) amb veloitat e 48 m/h (3.33 m/s) v f v 9M f z λ 8 3 Δθ max simbol 5K [ iles/ s] [ simbols/ s] o ile o / simbol ) Per reuir l error e fase per símbol rebut veiem que poem baixar la veloitat el vehile o augmentar la veloitat e transmissió. També poem ontrarestar els anvis e fase provoats per l augment e veloitat o per la baixaa e la veloitat e Tx mitjançant augments e la veloitat e Tx i baixaes e la veloitat el vehile respetivament. Problema 4.7 Un sistema e omuniaions mòbils fa ús e la moulaió espetre eixamplat e seqüènia ireta (DS-SS) per tal e mitigar els efetes el multiamí. El anal onsisteix en un amí e visió irete més una primera reflexió que reorre m més que l anterior. a) Calula el hip rate f (número e xips per segon) mínim per assegurar que el reeptor pot resolre aa amí per separat. b) Calula el hip rate màxim per poer assegurar que no hi haurà S si el guany e proés el sistema és e 63. ) Suposant que f.5 8 xips/s i que el senyal rebut bana base es pot esriure om: y j () t x() t.3e 4 x( t τ ) Dibuixa el iagrama e blos un reeptor RAKE aaptat al tipus e anal. Espeifia els retars e aa brana en número e xips. Quin tipus e iversitat s està aprofitant en aquest as? π Soluió a) Chip rate mínim: 66

171 Sabem que la reflexió viatja metres més que el amí e visió irete i també sabem la veloitat a la que viatgen les ones. Amb això poem trobar el retar entre els os senyals. Δτ τ τ m 8 3 m / s LOS 4 Per poer resolre aa amí per separat és neessari que el retar entre els os senyals sigui major al temps e xip, ja que l autoorrelaió e les seqüènies PN té una amplaa (resoluió temporal) aquest orre: b) Chip rate màxim sense S: f R R 4ns > T LOS T 4ns. 5 min max ns Mz Per evitar que es proueixi interferènia intersimbòlia (S), el temps e símbol ha e ser major al temps entre els os senyals.: T s > Δτ 4ns f. Mz s T 4ns 5 max s min Tenint en ompte que la uraa el símbol és igual a la uraa e la seqüènia PN, poem trobar el hip rate om: f f N en què N és el guany el proés (N63) s f.5mz Mhz max ) El iagrama e blos el reeptor RAKE és el següent: τ D,D- Demoulaors r(t) D h * y(t) D h * τ 67

172 En què D i D són esmoulaors e DS-SS onvenionals i i són els temps e sinronisme e les seqüènies PN que utilitza aasun ells respetivament. j Sabent que y() t x() t.3e 4 x( t τ ) π poem trobar els valors e h,h,τ i τ. 4 4 h h h.3e h. e π j 3 El primer esmoulaor està esfasat zero temps e xip ( τ T ) ja que es el amí irete. El segon esmoulaor esta esfasat τ respete al primer esmoulaor i sabem els apartats anteriors que el retar es e 4ns. π j.5 xips τ 4ns s f 8 8 τ.5 4ns 5xips 5 τ T El reeptor RAKE utilitza la iversitat temporal inuïa pel multiamí. Fa ús el riteri MRC (Maximum Ratio Combining), que permet aprofitar gairebé tota la SNR en antena sempre que T s > Tm. El reeptor separa els iferents amins que arriben per antena i els ombina en fase per aonseguir el màxim senyal possible a la sortia el esmoulaor per tal que el etetor final treballi amb les millors oniions e relaió SNR. Problema 4.8 Explia en una taula resum les quatre funions estaístiques que arateritzen els os prinipals fators e egraaió el senyal assoiaes a les variaions a urt termini en un anal mòbil. Defineix també els paràmetres esalars més importants mesurats sobre aquestes funions. Quina utilitat tenen? Soluió Perfil e retar e potènia. [ ] ( τ ) E h( t;τ ) S Proporiona una visió e l eixamplament temporal el anal en el omini temporal om la istribuió els iferents rebots el multiamí en l eix e retar relatiu. Permet mesurar paràmetres esalars om l eixamplament temporal màxim Tm o l eixamplament temporal r.m.s. σ τ Funió e orrelaió temporal [ ] ( Δt) E ( t; f ) ( t Δt f ) R ; Proporiona una visió temporal e la variaió temporal el anal, o om e semblant és el anal en una mateixa freqüènia i os instants separats Δ t. Permet analitzar la rapiesa e anvi el anal, mesuraa amb el temps e oherènia T. 68

173 Funió e orrelaió freqüenial [ ; ] T. F S( τ ) ( Δf ) E ( t f ) ( t; f Δf ) R. { } Proporiona una visió freqüenial e l efete ispersiu el anal (om e semblant és el anal en un mateix instant i en ues freqüènies espaiaes Δ f ), i entenre el fenomen e la seletivitat freqüenial el anal, assoiaa als fenòmens e istorsió S i mutilaió el pols e senyalitzaió en una omuniaió igital. Permet mesurar l amplaa e bana e oherènia el anal f. Espetre e potènia Doppler S( ν ) T. F. { R( Δt) } Proporiona una visió freqüenial assoiaa a la variaió temporal, tot veient-la es e la freqüènia e variaió o freqüènia Doppler ν. Permet mesurar quin és l engruiximent espetral provoat per aquesta variaió mesurat amb el paràmetre esalar amplaa e bana Doppler f. Definiió i utilitat els paràmetres esalars assoiats: Eixamplament temporal: Es pot mesurar el màxim eixamplament temporal T m o iferènia e retars entre la primera i última omponents el multiamí o bé l eixamplament temporal r.m.s. σ τ. Mentre el primer permet eterminar la quantitat e S que hi haurà per avaluar la neessitat un equalitzaor e anal, el segon es relaiona e forma inversament proporional amb el següent paràmetre. Amplaa e bana e oherènia f : iferènia màxima entre freqüènies en què el anal té un omportament bàsiament similar. Permet eterminar el tipus e omportament el anal (seletiu/no seletiu en freqüènia) i eterminar també si és neessari l ús e tèniques equalitzaió e anal. Temps e oherènia T : màxim períoe e temps urant el qual el anal té un omportament essenialment similar. Permet avaluar el tipus e variaió temporal el anal (lentament o ràpiament variant respete el períoe e símbol usat) i onfigurar el sistema entrellaçat e informaió que assisteix al sistema e oifiaió e anal. Amplaa e bana Doppler f : màxima freqüènia e variaió el anal, inversament proporional al temps e oherènia. Permet onar una visió freqüenial a la variaió temporal el anal i avaluar el seu omportament en funió e l amplaa e bana e transmissió. Si T s és el temps e símbol i W és l amplaa e bana e la transmissió es poen establir les següents ategories assoiaes al omportament el anal: Eixamplament temporal / Seletivitat freqüenial Variaió temporal Canal seletiu en freqüènia Tm > Ts f < W Canal amb variaions ràpies T < Ts f > W Canal no seletiu en freqüènia Tm < Ts f > W Canal amb variaions lentes T > Ts f < W 69

174 Problema 4.9 Explia els següents oneptes assoiats a una omuniaió igital per una anal mòbil, tot responent espeífiament a les qüestions que es plantegen en aa as: a) Variaions a llarg o urt termini. En què es iferenien i què les ausa? b) Espetre e Jaes (ensitat espetral e potènia Doppler) Quina forma té? Per què? Què és la freqüènia Doppler? ) Canal seletiu enfront el anal no seletiu en freqüènia. Què ho etermina? Quins efetes pot provoar sobre el senyal transmès? ) Tèniques e iversitat Què permeten ombatre i per què? Comenta n os exemples. Soluió a) Variaions a llarg o urt termini. Les variaions a llarg termini representen les variaions e la atenuaió mitja el senyal transmès (pèrues e propagaió o path loss) egues al moviment un o ambós extrems e la omuniaió al llarg e grans àrees geogràfiques (grans eifiis, muntanyes, valls, et.). En aquestes situaions el reeptor quea emmasarat per aquestes grans superfíies. Des el punt e vista estaísti, aquest tipus e variaions es esriuen en termes una erta atenuaió mitja (mean-path loss) i una variaió amb istribuió log-normal al voltant aquesta, i la seva mesura es realitza alulant mitges sobre les variaions a urt termini. Les variaions a urt termini, en anvi, representen les variaions ràpies amplitu i fase e la senyal rebua prouïes per petites variaions (e l orre e mitja longitu ona) en la istània entre emissor i reeptor. Aquest fenomen es materialitza en os tipus efetes e istorsió: la ispersió temporal el senyal (o eixamplament temporal) i la variaió temporal el anal. b) Espetre e Jaes (ensitat espetral e potènia Doppler) L espetre e Jaes és el típi espetre Doppler assoiat a un moel e satter ens un anal mòbil urbà. La forma que té és e U invertia que oupa les freqüènies f ± f (sent f la freqüènia e la portaora enviaa i f la freqüènia Doppler el anal), i orrespon a l espetre e potènia que es rebria si es transmet una portaora sense moular. L eixamplament freqüenial és egut, bàsiament, al fet que el front ona inient en el reeptor arriba per totes ireions mentre que el mòbil es mou en una ireió eterminaa. L angle entre tots os moviments (front ona i el mòbil) etermina la freqüènia observaa per aa as, sent, per exemple e f f quan aquest angle és e 8º, e f - f quan és e º, o e f quan és e 9º. La freqüènia Doppler és una variable que permet mesurar la veloitat e anvi el anal, i quan es parla un anal onret es refereix om a valor assoiat a la veloitat e anvi màxima. En aquest as està iretament relaionaa amb la freqüènia el f f v. senyal (portaora) i la relaió e veloitats entre el mòbil i el front ona: ( ) / 7

175 ) Canal seletiu enfront el anal no seletiu en freqüènia Un anal e omuniaions es omporta e forma seletiva en freqüènia quan la ispersió el anal (eixamplament temporal) supera en magnitu el temps e símbol el senyal transmès o bé quan l amplaa e bana e oherènia el anal és inferior a l amplaa e bana el senyal transmesa, i no és seletiu en as ontrari. Quan un anal és seletiu en freqüènia pot provoar el fenomen e la S (interferènia intersimbòlia), que es pot soluionar amb tèniques equalitzaió e anal en el reeptor o bé amb moulaions robustes (p.ex. OFDM). D altra bana, la seletivitat freqüenial garanteix un ert grau e iversitat que pot ser aprofitaa pel reeptor per tal e minimitzar baixaes e relaió senyal-soroll. ) Tèniques e iversitat Les tèniques e iversitat permeten lluitar ontra les pèrues e la relaió senyalsoroll, amb l objetiu intentar assolir el funionament equivalent a un anal AWGN (o anal bo ). La iversitat es basa a aonseguir isposar e rèpliques inepenents una mateixa informaió amb l objetiu esollir en aa moment la font amb més qualitat. Com a exemples poem itar: Diversitat temporal Es pot aonseguir per exemple ombinant ois orretors (p.ex. oi e repetiió) i tèniques entrellaçat (amb profunitats entrellaçat om a mínim el temps e oherènia), fent que es trenqui virtualment la mateixa orrelaió temporal els esvaïments. Sistemes espetre eixamplat DS-SS L eixamplament freqüenial en un sistema DS-SS permet separar, en erta manera, la iversitat temporal que el anal introueix en forma e les iferents omponents el multiamí (o també iversitat e amins). Tal om ja vam estuiar a l anterior sessió, el reeptor RAKE és l estrutura que permet ombinar l energia etetaa per aa amí. Així, mentre la separaió és un aspete referent al poer ombatre la seletivitat freqüenial, la ombinaió implia un proés alineament en fase e l energia etetaa per aa brana e l estrutura i s ha e relaionar més aviat amb l aprofitament e la iversitat temporal (o e multiamí) subministraa pel mateix anal. Problema 4. Un sistema e transmissió mòbil es issenya amb els següents paràmetres: - Moulaió QPSK (suposeu pols senyalitzaor amplaa e bana inversament proporional al períoe e símbol, és a ir, R S W) - Veloitat e transmissió: Mbit/s (inloent bits e reunània) - Freqüènia e portaora: 9 Mz - Retar màxim e la omuniaió tolerat mseg - Equalitzaor aaptatiu FR e 4 oefiients (a nivell e símbol) - Coifiaió e anal amb entrellaçat e profunitat T L seg. El anal mòbil té el perfil e retar e potènia e la figura. Suposeu que el retar e la omuniaió és bàsiament provoat pel sistema entrellaçat. 7

176 S(τ) τ [μs] a) Caluleu l amplaa e bana mínima e freqüènies ins e la qual el anal té un omportament essenialment similar. b) Justifia, a partir e l anterior resultat, la neessitat ús e l equalitzaor lineal en el reeptor. És aequat el número e oefiients? Quants estats neessitaria un equalitzaor MLSE? ) Calula la veloitat mínima el mòbil per garantir la orreta funionalitat el sistema entrellaçat. Quin és el número e bits ins el blo entrellaçat que garanteix el orrete funionament per aquesta veloitat mínima? ) Proposa alguna soluió per evitar el mal funionament a veloitats inferiors a la trobaa en l apartat ). Justifia n l eleió. AJUDA: f ( τ ) S ( τ ) f ( τ ) S ( τ ) σ τ τ () τ f 5σ τ T.5 f Soluió a) Calulem primer l eixamplament RMS el anal: ( τ ) S τ σ S ( τ) S( τ ) τ S( τ 3) S( τ) S( τ ) S( τ ( τ) τ S( τ ) τ S( τ 3) S( τ ) S( τ ) S( τ ) τ τ ( τ ).55 μs 3 τ μs.5 τ ( ).5 ( 5 ) s Ja poem alular l amplaa e bana e oherènia f, que quara perfetament amb la efiniió que se ns emana: f 5 σ τ.888 z 7

177 b) L amplaa e bana e transmissió la poem alular segons: W símbol QPSK Mb/s Mbau/s Mz bits Per tant es ompleix que W Mz >> f.8 Kz, la qual osa signifia que el anal és seletiu en freqüènia. En aquest as, el senyal rebut manifestarà la istorsió S, aspete que requereix e l ús equalitzaió e anal en el reeptor. Per saber el número e oefiients neessaris, reorem que l equalitzaor FR aostuma a funionar bé quan el número e oefiients iguala la quantitat e S (avara tota la ispersió temporal). De la gràfia e S ( τ ) veiem que la ispersió temporal màxima és e T m 5 mirosegons. D altra bana, la uraa e aa símbol és e: Tm T s μ s 6 R bau/s 5 s És a ir, que el anal ispersa un total e 5 símbols. Per tant, l equalitzaor és insufiient, ja que alria que el número e oefiients fos un mínim e 5 per omptes e 4. En tenir un patró e S e 5 símbols, i aa símbol és e 4 possibilitats (QPSK), el iagrama e Trellis assoiat al moel e anal que utilitzaria un equalitzaor MLSE ( 5) 4 seria e estats. ) Suposem que per garantir la orreta funionalitat al que la profunitat entrellaçat sigui om a mínim vegaes el temps e oherènia (per isposar un mínim e iversitat temporal). D altra bana, la veloitat mínima el mòbil estarà assoiaa a un temps e oherènia màxim (ja que són inversament proporionals), i per tant, a una profunitat entrellaçat màxima, que ve limitaa per la restriió el retar màxim e omuniaió: T T < ms TL L < 5 ms A ontinuaió relaionem el temps entrellaçat amb el temps e oherènia i la veloitat el mòbil amb la freqüènia Doppler i, així mateix, amb el temps e oherènia: v v f f λ 5 TL T v.5 ftl T f Apliant la primera esigualtat s arriba a la veloitat mínima: v > m/s Km/h 73

178 El número e bits ins el blo entrellaçat per assolir aquesta veloitat mínima e funionament el poem alular om: 6 bits s.5 s. blo entrellaçat. bits/blo ) Com es pot veure el resultat e l apartat ) ens iu que el sistema entrellaçat no proporionarà la sufiient iversitat al sistema e oifiaió e anal per veloitats inferiors als Km/h, si es mantenen les aes e l enuniat. Per tal e soluionar el mal funionament per a veloitats inferiors, es poria realitzar salts e freqüènia, e manera que es garantís que ins un blo entrellaçat e 5 mseg e uraa hi hagués la sufiient iversitat. Això impliaria fer salts e més e K8 z (l amplaa e bana e oherènia) a un ritme e no menys e salts aa 5 mseg, o e 5 mseg per aa salt, la qual osa ens garantiria una relaió similar a T L T. La justifiaió e l amplaa el salt és que aquesta forma garantim que el anal tinrà un omportament iferent esprés el salt, e manera que urant el temps el blo entrellaçat el senyal haurà viatjat per banes iferents, la qual osa garantirà la mínima iversitat temporal neessària per al orrete funionament el sistema. Una altra possibilitat seria utilitzar alguna altra mena e iversitat, om per exemple, la iversitat espaial usant un array e M antenes en el reeptor, e manera que es ombinessin e forma aequaa els senyals e les M antenes (usant, per exemple, una filosofia MRC o Maximal Ratio Combining). Per poer aprofitar aquesta iversitat seria neessari que la separaió entre ues antenes reeptores fos, om a mínim, e.4λ, en aquest as uns 3 m. Aquesta és la mínima istània per garantir la inepenènia estaístia els senyals e les iferents antenes. Problema 4. Explia amb etall en què onsisteix la moulaió OFDM i per a quin tipus e anals està espeialment iniaa. Quin tipus e istorsió més important permet afrontar? Justifia la teva expliaió tot ajuant-te e ibuixos que alareixin els oneptes involurats. Soluió La moulaió OFDM (Orthogonal Frequeny Division Multiplexing) onsisteix a transmetre la informaió un blo N símbols e uraa T s en N subportaores espaiaes /(NT s ) z. Aquesta separaió freqüenial és la mínima que garanteix la perfeta ortogonalitat entre les portaores al llarg el períoe el símbol OFDM (T OFDM NT s ). Aquesta filosofia permet ombatre un els efetes e istorsió més importants els anals amb multiamí: la ispersió temporal. Conretament, suposant que el anal té un eixamplament temporal màxim T m superior al períoe e símbol T s, l ús una moulaió onvenional (PSK, QPSK, QAM, et.) inuiria la presènia e S en el senyal rebut. D altra bana, si s esull un valor e N sufiientment gran, es pot 74

179 aonseguir eliminar aquest efete interferènia. Això es pot aonseguir afegint un temps e guara T G al final el símbol OFDM que superi el valor e l eixamplament temporal T m màxim provoat pel multiamí. Moulaió Convenional (PSK, QAM, et.) NT s S S S 3... S N T s t Moulaió OFDM f T m T G S N Δf /(NT s )... S 3 S S t Problema 4. Sigui un sistema e transmissió igital e veu, sobre un anal mòbil en zona urbana a 8 Mz, basat en una moulaió QPSK iferenial a 5Kbps, i amb oifiaió e anal amb entrellaçat e blo e 5 bits: a) Desriu els prinipals efetes que pot provoar una veloitat extrema un els terminals e la omuniaió, tant si és massa alta om massa baixa, sobre la transmissió igital. Detalla sobre quins mòuls el reeptor es prouirien en aa as aquests prinipals problemes. b) Calula les veloitats extremes (màxima v max i mínima v min ) referents a la qüestió anterior. Es emana, només, un àlul aproximat. ) Sigui v la veloitat el terminal mòbil, omenta les prinipals tèniques que permetrien apaivagar aquests efetes noius pels asos següents: Si v>v max Si v<v min AJUDA: T.43/ f f ( 5σ ), / τ 75

180 Es onsiera un anal amb esvaïments ràpis si l amplaa e bana Doppler és superior a una entèsima part e l amplaa e bana transmesa. Soluió a) La veloitat massa elevaa pot provoar la noió el anal amb esvaïments massa ràpis, fet que provoaria problemes en els sistemes e sinronitzaió (e portaora, e símbol, et.) així om fins i tot en el mateix mòul e eteió el senyal (ja que urant el períoe integraió les variaions el anal poen minvar la energia e símbol rebua, o també, pel fet que la rotaió e la onstel laió rebua egua a una freqüènia Doppler massa elevaa poria provoar una ambigüitat massa elevaa tot i tratar-se una moulaió iferenial). Aquests efetes queen refletits en el fenomen e l apariió e BER irreutible (BER no baixa per sobre una erta relaió senyal-soroll). D altra bana una veloitat massa petita provoaria un temps e oherènia el anal elevat. Si aquest temps és superior a una esena part el temps entrellaçat (en el nostre as T L 5 bits/blo / 5. b/s. s, suposant que el oi té una veloitat /n propera a la unitat) el sistema entrellaçat no aportarà la iversitat temporal neessària per garantir el bon funionament el sistema e oifiaió, ja que hi haurà força situaions en què una paraula rebua ontingui massa errors om per orregir-la. Això provoaria llargues ràfegues errors no soluionats pel sistema e oifiaió e anal. b) Comenem per la veloitat màxima, que vinrà limitaa per la noió un anal amb esvaïments ràpis, el límit que està establert a l ajua onaa: f W < Rs v < f v Rs f < bau 5. bits/s 3 bits 6 8 z 8 m/s 4.66 m/s 5 Km/h v max En què el àlul e W s ha fet suposant un oi orretor amb veloitat (/n) propera a. Quant a la veloitat mínima, en aquest as al busar-la en la proporió e la iversitat temporal proporionaa per l entrellaçat al sistema e oifiaió e anal: TL > T f v f fv v > 7.5 m/s 5.38 Km/h v 6 T f. 8 L min 76

181 ) Si v > v max : El anal seria amb esvaïments ràpis om a onseqüènia un eixamplament freqüenial notable respete e l amplaa e bana el senyal transmès, per tant es poria ombatre aquesta istorsió per mitjà e: - moulaió empraa (QPSK) fos no oherent o bé iferenial - isminuint el temps integraió ins un símbol per evitar anel laions e senyal a ausa e les ràpies variaions el anal - isminuint el períoe e símbol tot introuint més símbols reunants (p.ex: usant ois orretors amb més reunània que l atual) Si v < v min : El sistema e oifiaió e anal eixaria e funionar orretament, ja que ins el temps entrellaçat no hi hauria sufiient iversitat temporal (esvaïments ombinats amb zones e bona qualitat el senyal). Per evitar-ho, es poria: - augmentar el temps entrellaçat (núm. e bits el blo>5), tot i que en aquest as la omuniaió e veu es ressentiria en existir un retar e la omuniaió massa elevat. - introuir unes altres tèniques e iversitat, per exemple, realitzant salts e freqüènia majors que l amplaa e bana e oherènia, ins un mateix blo entrellaçat, per garantir aquesta iversitat temporal (tal om es fa a GSM), o bé posant vàries antenes a l extrem que no es mou i reombinar els senyals abans el etetor (per exemple, amb la tènia e MRC o e màxim guany). Problema 4.3 Respon a les següents qüestions: a) Enumera les iferents tèniques e iversitat segons la naturalesa tot omentant-ne la finalitat així om si es trata e iversitat inuïa per l home. b) Explia els iferents mètoes e reombinaió e la iversitat sobre un exemple amb fator e iversitat orre L 3. Comenta els prinipals inonvenients i avantatges e aasuna elles. Soluió a) Les prinipals tèniques e iversitat permeten afrontar pèrues e SNR, espeialment urant llargs períoes e temps. La seva finalitat és la e isposar e més una rèplia, totes elles inepenents entre sí, e la mateixa informaió transmesa (bits, símbols), per poer prenre eisions més fiables. La eisió en base a les L rèpliques garanteix una menor probabilitat equivoar-se en la eisió, gràies a la inepenènia e totes elles. D aquesta forma, es pot aonseguir passar una qualitat olenta (límit e Rayleigh) a una qualitat bona o propera a la un anal AWGN. De les prinipals tèniques e iversitat poem enumerar les següents: Diversitat temporal (inuïa per l home, per exemple la oifiaió e analentrellaçat) Diversitat freqüenial (inuïa per l home) Diversitat e multiamí (pròpia el anal amb propagaió multiamí) 77

182 Diversitat espaial (pròpia el anal, en el sentit que existeix sense neessitat e la intervenió e l home, però inuïa per aquest en el sentit que al reollir-la per mitjà e iversos sensors - antenes) Diversitat e polaritzaió (el mateix que la iversitat espaial) b) Suposem que isposem e 3 rèpliques inepenents, una mateixa informaió, sobre un moel e anal no seletiu i lentament variant en el temps: y a n,,3 en què a és el oefiient esvaïment, η és la omponent e soroll e la brana, i és el valor e la informaió transmesa. La relaió senyal soroll e la brana és igual a: SNR E E [ a ] [ n ] a E σ [ ] suposant que la variània e la informaió transmesa és igual a. Tènia e seleió: En aa moment, s esull només una brana, aquella e les 3 que té una major qualitat, és a ir, que maximitza la seva SNR. Tènia e feeba: gual que a la tènia e seleió, s esull només una brana, però seguint un ert orre eterminat e era (llista irular preestablerta: et.). Tenint un ert llinar e qualitat, es fa la era a través e la llista e forma seqüenial només quan la brana anteriorment seleionaa en isminueix la qualitat (SNR) per sota aquest llinar. La primera brana, seguint aquest orre, que superi el llinar, serà la nova aniata e sortia. Tènia MRC (Maximal Ratio Combining): En aquest as s usen totes les branques simultàniament, e manera que la sortia és la suma poneraa e totes les branques. La brana -èsima es ponera pel fator a *, e manera que s aonsegueix alinear les fases e tots els oefiients esvaïment e totes les branques, i aprofitar la màxima qualitat isponible. D aquesta forma la SNR e sortia és igual a la suma e SNR s e totes les branques isponibles. Requereix una estimaió e anal per a poer onèixer en tot moment els oefiients e aa brana. Tènia e guany onstant: És una simplifiaió e la tènia MRC en què totes les branques se sumen sense els fators e poneraió. Respete els inonvenients i avantatges e les tèniques poem ir que segons la fiabilitat, l orre seria el següent: (més fiable) MRC > Guany tant. > Seleió > Feeba (menys fiable) quant a la senzillesa implementaió: (més senzillesa) Feeba > Seleió > Guany tant. > MRC (menys senzillesa) a σ 78

183 Problema 4.4 Sobre les tèniques per mitigar les pèrues e SNR ontesta els següents apartats: a) Posa tres exemples onrets e tèniques que permetin ombatre pèrues e relaió senyal-soroll, i justifia-les amb ajua e representaions gràfiques. b) Explia, e forma resumia, els mètoes que permeten realitzar la tasa el segon blo e la figura següent: Soluió a) Comentem les següents tèniques per ombatre esvaïments e SNR, totes elles ubiaes ins e les tèniques e iversitat:.- Coifiaió e anal i entrellaçat: És una e les tèniques universals per a orregir erraes, inepenentment el motiu pel qual hagin estat prouïts. El isseny e l entrellaçat ha e garantir que la profunitat entrellaçat (o el temps que oupa un blo entrellaçat e les aes) sigui força superior al temps e oherènia el anal. D aquesta forma existirà iversitat temporal ins un blo e aes i el esentrellaçat lliurarà al esoifiaor e anal aes amb un nombre errors aotat om perquè aquest pugui orregir totes les aes errònies..- Reeptor RAKE per a DS-SS: Aquesta tènia aplia el mètoe e màxim guany (o MRC) per a reombinar e forma onstrutiva l energia els iferents retars etetats en la transmissió. És, per tant, una tènia que s aprofita e la iversitat e multiamí generaa en l entorn e transmissió, osa que no implia la upliaió informaió tal om fan altres tèniques. Com es veu en el gràfi, la part superior separa els amins que arriben es e l emissor al reeptor (vetors e aa amí), i les parts entral i inferior esoifiquen i apliquen els pesos e reombinaió òptims i sumen totes les ontribuions (alineament i suma els amins). Aquesta realitzaió es basa en una evoluió lenta el anal, i suposa que l estat no varia signifiativament un símbol al següent, tot usant una moulaió iferenial. 79

184 Separaió els L amins Desoifiaió Reombinaió se màxim guany 3.- Diversitat espaial: Es propiia iretament en el reeptor tot afegint L antenes separaes generalment e l orre e λ (estaió base) o menys (mòbil). Aquesta separaió permet garantir que les rèpliques per aa antena siguin estaístiament inepenents (inorrelaes, en realitat) i, per tant, que aportin graus informaió iferents e l estat el anal. En aquest as es poen apliar les tèniques e reombinaió que s expliquen en l apartat següent. b) Els mètoes per a reombinar la iversitat són:.- Seleió: Fer ús en aa instant e temps aquella brana amb millor SNR. És una tènia senzilla però no fa un aprofitament òptim e la iversitat. 8

185 .- Feeba: Fent servir un eterminat orre íli e era (p.ex: L et.) s usa la primera brana que supera un ert llinar mínim e qualitat γ i no es torna a erar fins que la qualitat no avalla per sota el llinar. Millora en senzillesa respete e la Seleió però empitjora en prestaions. 3.- MRC (Maximal Ratio Combining) Proporiona les millors prestaions (màxima fiabilitat) però una màxima omplexitat, aportant a la sortia la suma e les relaions senyal/soroll e totes les branques mesuraes. Es basa a ponerar aa brana per l arrel quaraa e la seva SNR i sumar-ho tot. 4.- Guany onstant: És una simplifiaió e la reombinaió MRC, en què totes les branques es poneren per igual. Proporiona una fiabilitat menor a la filosofia MRC, amb la onseqüent reuió e omplexitat assoiaa (no al àlul aaptatiu e les SNR s, ni poneraió e les branques). Supera, però, les prestaions e les filosofies e Seleió i e Feeba Problema 4.5 La resposta un anal a un pols retangular e uraa T i amplitu està formaa per tres polsos suessius, també retangulars e uraa T i amplitus, i respetivament. a) Dibuixa el iagrama e Trellis que representa el proés e filtratge isret el anal (tingues en ompte que la memòria el anal és e símbols i suposa que es treballa amb una moulaió binària amb símbols {-,}). b) Calula el senyal rebut (sense soroll) si la informaió transmesa és e manera que a aa bit se li assigna un pols e uraa T i amplitu o - epenent e si s envia un o un respetivament. 8